Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ y sea $D$ el punto del lado $AB$ que cumple que $MD$ es perpendicular a $AB$. El punto $K$ está en el lado $AB$ y cumple que $BD=DK$ y $DM=AK$. El punto $P$ está en el interior del triángulo $ABC$ y cumple que $KP=BD$ y $KP$ es perpendicular a $AB$. Demostrar que $BP$ es perpendicular a $CA$.
Tenemos que $MK =MB$ ya que $\triangle MKB$ es isósceles (porque $KD = BD$ y $DM \perp KB$). Como $MB = MK = MC$, la circunferencia $(CBK)$ tiene diametro $BC$.
Como $90 = \angle BKC = \angle BKP$ tenemos $K, P, C$ colineales. Por tales tenemos $KC = 2DM$.
Nos fijamos en $\triangle AKP$ y $\triangle CKB$. Como tienen dos lados en proporción $2$ ($AK$ con $CK$ y $KP$ con $KB$) y el ángulo que se forma por los lados es $90$ en ambos, estos triangulos son semejantes. Sea $AP \cap BC = Z$.
Tenemos $\angle ABC = 90 - \angle KCB = \angle KAP = \angle BAZ$ $\implies AP \perp BC$. Como $AP \perp BC$ y $CP \perp AB$, $P$ es el ortocentro
de $\triangle ABC \implies BP \perp AC$.
