Hay algunas monedas (con dos caras, $A$ y $B$) en una fila. Sobre cada moneda de cara $A$, se escribe la cantidad de monedas de cara $B$ que tiene a su izquierda. Se suman esos números y da $136$. Se hace lo mismo para las monedas de cara $B$, con las monedas de cara $A$ que tienen a su izquierda, y da $153$. Si las primeras dos monedas no tienen la misma cara hacia arriba, determinar la cantidad de monedas en la fila.
Llamaremos $S(X)$ a la suma de todos los números escritos sobre cada moneda de cara $X$. En este caso, $S(A)=136$ y $S(B)=153$. En primer lugar, consideremos una fila de $n$ monedas con $1$ moneda de cara $A$ y $n-1$ monedas de cara $B$, numerando cada posición en la fila con números de 1 hasta $n$. Si la moneda $A$ está en la posición $i_1$, entonces aquella moneda tendrá $i_1-1$ monedas de cara $B$ a su izquierda por lo que $S(A)=i_1-1$, y habrá $n-i_1$ monedas de cara B que tienen a aquella moneda de cara $A$ a su izquierda, por lo que $S(B)=n-i_1$. Entonces, $S(A)+S(B)=n-1=1(n-1)$. Observamos que si, además hay otra moneda de cara $A$ en la posición $i_2$, con $i_2>i_1$, entonces $S(A)$ será todas las posiciones previas a $i_2$, $-1$(ya que $i_1$ se encuentra en esas posiciones y no es una $B$) sumadas a todas las posiciones previas a $i_1$, por lo que queda $S(A)=i_2-2+i_1-1=i_1+i_2-3$. Por otra parte, $S(B)$ será la suma de la cantidad de monedas entre las posiciones $i_2$ y $n$, sumadas a la cantidad de monedas entre $i_1$ y $n$, $-1$, (ya que $i_2$ se encuentra en esas posiciones y no es una $B$). Es decir, $S(B)=n-i_2+n-i_1-1=2n-i_1-i_2-1$. Consecuentemente, $S(A)+S(B)=2n-4=2(n-2)$. En general, $S(A)=i_1+i_2+...+i_k-1-2-...-k=i_1+i_2+...+i_k-\frac{k(k+1)}{2}$, donde $k$ es la cantidad de monedas de cara $A$. Análogamente, $S(B)=n-i_k+n-i_{k-1}-1+...+n-i_1-(k-1)=k\cdot n-i_1-i_2-...-i_k-\frac{(k-1)k}{2}$. Por ende, $S(A)+S(B)=k\cdot n-\frac{k(k+1)}{2}-\frac{(k-1)k}{2}=k\cdot n-\frac{k(k+1)+k(k-1)}{2}=k\cdot n-\frac{k^2+k+k^2-k}{2}=k\cdot n-\frac{2k^2}{2}=k\cdot n-k^2$$=k(n-k)$. Pero si $k$ era la cantidad de monedas de cara $A$ y $n$ era la cantidad total de monedas, entonces $(n-k)$ es la cantidad de monedas de cara $B$, por lo que queda que $S(A)+S(B)$ es simplemente la cantidad de monedas de cara $A$ multiplicado por la cantidad de monedas de cara $B!$ Finalmente, en nuestro caso tenemos que $S(A)+S(B)=136+153=289=1\cdot 289=17\cdot 17$, por lo que podrían haber $289$ monedas de cara $A$ y una de cara $B$, $289$ de cara $B$ y una de cara $A$, o $17$ de cada cara. Las primeras 2 opciones se descartan ya que existe la condición de que las primeras 2 monedas tienen distinta cara, lo cual no les permite funcionar. (Solo funcionan si la cara distinta está en la posición 153 y 136 respectivamente). Finalmente, queda la opción de 17 monedas de cada cara, dando un total de 34 monedas. Un ejemplo de esta fila es el siguiente: $ABABABAB...AB$ hasta que se completen las 34 monedas, y se verifica que anda$\clubsuit$
Última edición por TitanDelSur el Mar 31 Oct, 2023 9:27 am, editado 1 vez en total.
Eratóstenes fue un elemento esencial de la matemática; sus descubrimientos quedarán periódicos en la historia. En su tabla, basta con mirar levemente hacia la izquierda para pasar del 79 al 47
Sean $a$ y $b$ la cantidad de monedas de cara $A$ y cara $B$ respectivamente.
Cada moneda de cara $B$ que esté a la izquierda de una de cara $A$ implica que la de cara $A$ está a su derecha (y viceversa). Por lo tanto si en cada moneda de cara $B$ contamos la cantidad de monedas de cara $A$ a su derecha y luego sumamos todos los números obtendremos $136$. Además sumar los dos resultados obtenidos, $136+153=289$, es equivalente a escribir el número de monedas de cara $A$ en cada moneda cara $B$ y sumar los números, es decir $ab=289=17^2$.
Si hay una sola moneda de un tipo, debe ser una de las primeras dos por lo que alguna de las sumas sería $0$ o $1$, lo que no sucede. Se sigue que hay $17$ moneda de cada cara, y $34$ en total. Esto se da por ejemplo si las monedas se reparten
$$ABABA\ldots BABAB$$
Donde la suma de los números de las monedas de cara $B$ es $1+2+\ldots17=\dfrac{17\cdot18}{2}=153$ y la de las de cara $A$ es $1+2+\ldots16=\dfrac{16\cdot17}{2}=136$.$\bigstar$
"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
Donde hay $17$ monedas de $ \left ( B\right )$ y $17$ de $\left ( A\right )$.
Hagamos la cuenta:
Por lo anterior, si tenemos $17$ de $\left ( A\right )$, arranca $ \left ( A\right )$ y termina con $\left ( B\right )$, la suma de los numeros sobre las monedas $ \left ( B\right )$ es $\frac{18}{2}.17=153=1+2+3+4+5+...+17$. Analogamente, para el caso de las $ \left ( A\right )$ es $\frac{16}{2}.17=136=0+1+2+3+...+16$, donde se cuenta al $0$.
Por ende, en la fila hay $17$ de $ \left ( A\right )$ y $17$ de $ \left ( B\right )$.
Supongamos que tenemos $33$ monedas.
Tenemos que si $x$ es la cantidad de $ \left ( A\right )$ e $y$ es la cantidad de $ \left ( B\right )$, el mayor producto $xy$ es $17.16=272$. Luego, supongamos que $x$ e $y$ tienen estas dos cantidades.
Coloco los bloques de $ \left ( A\right )$ y $ \left ( B\right )$ uno tras otro. Tenemos que la suma de las monedas es la cantidad de monedas de $ \left ( A\right )$ multiplicado por $ \left ( B\right )$. Es decir, $17.16=272$, sin importar cual bloque va en que posicion.
$(*)$ Una operacion consiste de cambiar de lugar dos monedas de diferente tipo.
$(*)$ La suma de las monedas al inicio es $272$.
$(*)$ Al inicio, las monedas $ \left ( A\right )$ tienen valor $0$ y las monedas $ \left ( B\right )$ tienen por valor la cantidad de monedas $ \left ( A\right )$. $(16$ o $17)$.
$(1)$ Nuestro proposito es aumentar $272$ a $289$.
$(*)$ A traves de operaciones puedo llegar a cualquier otra configuracion:
Supongamos que con nuestra operacion definida podemos llegar a una configuracion $a$ pero todas las otras configuraciones $b$ son inaccesibles. Luego, hay una configuracion de la fila de $a$ y otra de $b$ que difieren en una operacion. Pero entonces realizamos la operacion. Es decir, es posible conseguir todas las configuraciones.
Si realizo una operacion, tendre que sumo $1$ a la/las monedas $ \left ( A\right )$ por cada $ \left ( B\right )$ que tengan a su izquierda. Y al mismo tiempo, por lo anterior, resto a la/las monedas $ \left ( B\right )$ por cada $ \left ( A\right )$ que tengan a su derecha. Tenemos una suma-resta reciproca de igual valor. Es decir, se suma la misma cantidad que se resta. Por esto, la suma de las monedas en toda configuracion es invariante y es igual a $272$. Si $xy\neq 272$, como $272$ es el maximo producto de $x$ e $y$ con $x+y=33$, $xy<272<289$.
Si tengo $\geq 35$ monedas, necesito que $xy=289$. Pero $289=17^2$, donde $17$ es primo. Entonces necesariamente la cantidad de monedas de algun tipo es $17$, de donde la cantidad de la otra es tambien $17$. Pero $17+17=34<35$. Por ende es imposible para $\geq 35$ monedas.
Si tenemos $34$ monedas, la suma invariante es $17*17=289$ con el ejemplo de los bloques $ \left ( A\right )$ y $ \left ( B\right )$ pegados.
Si tuviera solo una moneda de un tipo y $289$ de otro, tendriamos que la suma de las monedas es $289$ pero este ejemplo claramente no cumple con que la suma de las monedas $ \left ( A\right )$ sea $136$ y para las $ \left ( B\right )$ sea $153$.
Finalmente, la cantidad de numeros en la fila es estrictamente $34$.
Sea $a$ la cantidad de $A$s en la secuencia de monedas. Análogamente, sea $b$ la cantidad de $B$s.
Sea $S_A$ la suma de los valores escritos sobre las monedas $A$, análogamente con $S_B$ y sea $S_T = S_A + S_B$. Lema del Oso Polar:
"$S_T$ es igual para toda secuencia con igual $a$ y $b$, sin importar el orden de las monedas". Demostración:
Si tenemos una secuencia inicial y una secuencia final a la que se quiere llegar, un algoritmo para hacer esto es comenzar desde la moneda más a la izquierda en la secuencia inicial. Si coincide con la moneda $1$ de la secuencia final, la dejamos donde esta. Si no es así, la intercambiamos con alguna moneda a la derecha. Nos movemos a la moneda $2$ y repetimos lo mismo, y así hasta la moneda más a la derecha. Como ambas secuencias tienen mismo $a$ y $b$, sabemos que es posible hacer esto.
Por lo tanto, basta con demostrar que al intercambiar cualesquiera $A$ y $B$ de lugar, $S_T$ se mantiene igual.
Si tenemos la secuencia:
$...A_x...B_x...$ e intercambiamos $A_x$ con $B_x$, sabemos que los números escritos sobre las monedas a la izquierda de donde estaba $A_x$, y a la derecha de donde estaba $B_x$, no cambiarán luego del intercambio, pues sigue habiendo la misma cantidad de monedas de cada tipo a la izquierda de donde estaba $A_x$, y en el intervalo $X$ (que va desde $A_x$ hasta $B_x$).
Entonces, tenemos que demostrar que la suma de los números escritos en el intervalo $X$, $S_X$, se mantiene igual luego de intercambiar $A_x$ con $B_x$.
Sea $a_x$ la cantidad de $A$s en el intervalo $X$, sin contar a $A_x$. Análogamente se define $b_x$.
Al hacer $...A_x...B_x... \rightarrow ...B_x...A_x...$, todas las $A$s en el intervalo van a aumentar en uno el número escrito en ellas, por lo tanto se añade $+a_x$ a $S_X$. Similarmente, todas las $B$s en el intervalo van a reducir en uno el número escrito en ellas, por lo tanto se añade $-b_x$ a $S_X$.
$A_x$ va a pasar a tener $b_x$ monedas $B$ más a su izquierda, por lo tanto se añade $+b_x$ a $S_X$.
$B_x$ va a pasar a tener $a_x$ monedas $A$ menos a su izquierda, añadiendo $-a_x$ a $S_X$.
Sumando todo lo añadido a $S_X$, tenemos que $S_X$ se mantiene igual luego de intercambiar $A_x$ por $B_x$, y por lo tanto concluimos que al intercambiar cualesquiera $A$ y $B$ de lugar, $S_T$ se mantiene igual□.
Lema del Producto:
"Sea $S(a, b)$ la suma de los números escritos en una secuencia con $a$ $A$s y $b$ $B$s. Se cumple que
$S(a,b) = a \times b$". Demostración:
Por el Lema del Oso Polar, sabemos que $S(a,b)$ es la misma sin importar el orden de la secuencia. Si consideramos la secuencia:
$AA...AABB...BB$
Sobre cada $A$ estará escrito $0$, y sobre cada $B$ estará escrito $a$, por lo tanto, $S(a,b) = a \times b$□.
Ahora sí, a resolver el problema.
Tenemos $S_T = 136+153 = 289$. Por el Lema del Producto, tenemos $ab = 289$, lo cual tiene tres soluciones en $\mathbb{N}$: $(a = 1, b = 289), (a=289, b = 1), (a=17, b=17)$.
Como las primeras dos monedas no tienen la misma cara hacia arriba, es imposible que en los primeros dos casos $S_a >1$ y $S_B > 1$ respectivamente, por lo tanto esas dos soluciones no nos sirven.
Si tomamos $(a=17, b=17)$, una posible secuencia es:
ABABBBBBBBBAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBB
(A, B, A, 8 Bs, 15 As, 8 Bs)
Tenemos
$S_A = 0 + 1 + 15*9 = 136$
$S_B = 1 + 8*2 + 17*8 = 153$
Por lo tanto, podemos asegurar que hay $34$ monedas en la fila.
