Sea $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ una función con derivada continua tal que $f(0)=0$ y $f(1)=1$. Demostrar que existe un número real $t$ tal que $f'(t)>0$ y $f(t)>f(s)$ para todo $s$ tal que $0\leq s<t$.
1) Al ser f continua en un intervalo cerrado, tiene un máximo. Sea M ese máximo.
2) Al ser f continua, la preimagen de {M} es un conjunto cerrado. Claramente 0 no pertenece a esa preimagen (M>=f(1)>f(0))
3) Sea l el extremo inferior de la preimagen de {M} (la preimagen de {M} escerrado y acotado). Del punto 2, f(l) = M y l > 0.
4) De la definición de M y l, f(s) < M, para todo s<l.
5) De 4, existe un epsilon > 0 tal que f' >= 0 en [l - epsilon, l] y por lo tanto f es creciente en ese intervalo. No podemos asegurar estrictamente creciente ni f' >0 en todo el intervalo, pero SI podemos asegurar que f no es constante en todo el intervalo y que f' no es 0 en todo el intervalo. (Una consecuencia particular de esto es que f(l - epsilon) < M).
6) Al ser [0, l - epsilon] cerrado, f tiene un máximo en ese intervalo. Sea M_2 ese máximo. De la definición de M y l, M_2 < M.
7) Tomemos el subconjunto S de [l - epsilon, l] tal que f(s) >= M_2 en S. Notar que l pertenece a S, por lo que S es no vacío, y, (al ser f continua, creciente y con M>M_2), existe epsilon_2 con 0 < epsilon_2 <= epsilon, tal que S = [l - epsilon_2, l].
8) De la definición de M, M_2, epsilon y epsilon_2, se puede ver que cualquier punto en (l - epsilon_2, l) que tenga f' sea mayor a 0 cumple con las condiciones.
1) Al ser f continua en un intervalo cerrado, tiene un máximo. Sea M ese máximo.
2) Al ser f continua, la preimagen de {M} es un conjunto cerrado. Claramente 0 no pertenece a esa preimagen (M>=f(1)>f(0))
3) Sea l el extremo inferior de la preimagen de {M} (la preimagen de {M} escerrado y acotado). Del punto 2, f(l) = M y l > 0.
4) De la definición de M y l, f(s) < M, para todo s<l.
5) De 4, existe un epsilon > 0 tal que f' >= 0 en [l - epsilon, l] y por lo tanto f es creciente en ese intervalo. No podemos asegurar estrictamente creciente ni f' >0 en todo el intervalo, pero SI podemos asegurar que f no es constante en todo el intervalo y que f' no es 0 en todo el intervalo. (Una consecuencia particular de esto es que f(l - epsilon) < M).
6) Al ser [0, l - epsilon] cerrado, f tiene un máximo en ese intervalo. Sea M_2 ese máximo. De la definición de M y l, M_2 < M.
7) Tomemos el subconjunto S de [l - epsilon, l] tal que f(s) >= M_2 en S. Notar que l pertenece a S, por lo que S es no vacío, y, (al ser f continua, creciente y con M>M_2), existe epsilon_2 con 0 < epsilon_2 <= epsilon, tal que S = [l - epsilon_2, l].
8) De la definición de M, M_2, epsilon y epsilon_2, se puede ver que cualquier punto en (l - epsilon_2, l) que tenga f' sea mayor a 0 cumple con las condiciones.
Sea $g(x) := \max f([0, x])$. Claramente es no decreciente.
1. $g$ es Lipschitz.
Prueba. La derivada de $f$ es continua, por lo tanto esta acotada. Sea $L := \max f'$. Voy a probar que $|g(x) - g(y)| \leq L |x - y|$. Sean $x < y$ en $[0, 1]$. Si $g(x) = g(y)$ estamos. Si no, $g(x) < g(y)$, por lo que $g(y) = \max f([x, y])$. Ahora $g(y) = f(z) = f(x) + f'(\xi) (z - x) \leq g(x) + L |x - y|$ para ciertos $z, \xi \in [x, y]$, como queriamos.
2. Hay $x \in (0, 1)$ tal que $g'(x) > 0$.
Prueba. Como $g$ es Lipschitz, es absolutamente continua, por lo tanto por el teorema de diferenciacion de Lebesgue $g$ es diferenciable en casi todo punto y $g(1) = \int_0^1 g'(t) \, dt$. Claramente si $g$ es diferenciable en $x$ entonces $g'(x) \geq 0$, ya que $g$ es no decreciente. Si $g' = 0$ en casi todo punto, $g(1) = \int_0^1 g'(t) \, dt = 0$, que contradice $g(1) \geq f(1) = 1$. Entonces $g' > 0$ en un conjunto de medida positive, y por lo tanto $g'(x) > 0$ para algun $x \in (0, 1)$.
3. Sea $x \in (0, 1)$ tal que $g'(x) > 0$ (por 2). Entonces $g(x) = f(x)$, $f'(x) > 0$ y $f(x) > f(y)$ para todo $y < x$, como pide el problema.
Prueba. Si $g'(x) > 0$ entonces existe $\epsilon > 0$ tal que $g(x) > g(y)$ para todo $y \in [x - \epsilon, x)$, y $g(x) < g(y)$ para todo $y \in (x, x + \epsilon]$. Entonces $g(x) = \max f([y, x])$ para todo $y \in [x - \epsilon, x)$, y $g(y) = \max f((x, y])$ para todo $y \in (x, x + \epsilon]$. Por continuidad de $f$, $g(x) = f(x)$. Si $y < x$, $f(y) \leq g(\max\{y, x - \epsilon\}) < g(x) = f(x)$. Finalmente, si $h \in (0, \epsilon]$ entonces
$$\frac1h (g(x+h) - g(x)) = \frac1h (f(x + \xi) - f(x)) \leq \frac1\xi (f(x + \xi) - f(x))$$
para cierto $\xi \in (0, h]$, ya que $g(x + h) = \max f((x, x + h])$. Tomando $h \to 0^+$ obtenemos $g'(x) \leq f'(x)$, asi que $f'(x) > 0$, como queriamos.
