Trabajemos con módulo 6, es decir, el resto de cada número al dividirlo por 6.
El siguiente conjunto cumple con las condiciones deseadas:
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2
Última edición por BR1 el Jue 16 Nov, 2023 7:14 pm, editado 1 vez en total.
Veremos que no existe un conjunto que cumpla esas condiciones:
- Asumimos, por el absurdo, que si existe un conjunto así.
- Distribuiremos todos los números en parejas que tengan su suma par, es decir, de la forma par-par o impar-impar.
Veamos que siempre es posible armar 5 parejas de este modo:
Si tenemos dos parejas que sumen impar, es decir, de la forma par-impar o impar-par, siempre es posible reorganizar estos números en dos parejas que sumen par: par-par y impar-impar. Esto significa que tenemos a lo sumo una pareja que sume impar.
Llamemos n al número que no pertenece a ninguna pareja. Si n es par, podemos combinarlo con el número par de la pareja impar y formar una pareja par más: par-impar ; par => par-par ; impar. Se sigue el mismo razonamiento cuando n es impar.
- Si seleccionamos tres de estas parejas, nos garantizamos de que la suma de los 6 números es par.
- Veamos el resto módulo 3 de la suma de los números de cada pareja:
i) Si hay tres iguales, entonces la suma total es múltiplo de 3, y como cada pareja suma par, los seis números suman un múltiplo de 6.
ii) Si hay tres distintos, entonces la suma totales múltiplo de 3, y como cada pareja suma par, los seis números suman un múltiplo de 6.
Si queremos impedir el apartado ii) entonces algún resto no debe figurar en las parejas. Por principio de palomar, alguno de estos restos aparece al menos tres veces, y se contradice el apartado i).
Ejercicio para el lector: dados 5 números, podés tomar 3 cuya suma es múltiplo de 3.
Dicho esto, tomás 5 números cualesquiera de los 11 y tenés 3 de esos 5 cuya suma es múltiplo de 3. Sean A, B y C esos números.
De los 8 números restantes (quitando A, B y C) tomás 5 números cualesquiera y tenés 3 de esos 5 cuya suma sea múltiplo de 3. Sean D, E y F esos números.
De los 5 números restantes (quitando A, B, C, D, E y F) tenés 3 de esos 5 cuya suma sea múltiplo de 3. Sean G, H e I esos números.
Ahora tenemos 3 ternas (A,B,C) , (D,E,F) y (G,H,I) que suman múltiplo de 3. Mirando resto en la división por 6, esas 3 sumas son 6k o 6k + 3.
Como son 3 ternas y dos formas posibles (6k o 6k+3) hay dos ternas que la suma son de la misma forma. Agarrás esas 2 ternas y la suma de los 6 números será (6*k_1 + 6*k_2) o ((6*k_1 + 3) + (6*k_2 + 3)). En cualquiera de los dos casos, la suma será múltiplo de 6.
oráculo y magia negra