Nacional 2023 N3 P4

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Felibauk

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Nacional 2023 N3 P4

Mensaje sin leer por Felibauk »

Diremos que un número primo (positivo) es bueno si es igual a la resta de dos cubos enteros positivos. Por ejemplo: $7$ es un primo bueno pues $2^3-1^3=7$.
Determinar cuánto puede valer el último dígito de un primo bueno. Dar todas las posibilidades.
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drynshock

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Re: Nacional 2023 N3 P4

Mensaje sin leer por drynshock »

Edito el mensaje dejando mi nueva solución actualizada 2024

Nueva:
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Veamos que $a^3 - b^3 = p$ con $a > b$ y $a, b \in \mathbb Z^+$ y $p \in \mathbb P$. Por diferencia de cubos sabemos que $(a-b)(a^2+ab+b^2) = p$ y como claramente $a-b < a^2 + ab +b^2$ entonces $a-b = 1 \Rightarrow a = b+1$, (en caso contrario $p$ tendría mas de un factor primo lo cual es absurdo). Entonces reemplazando obtenemos que $(b+1)^2 + b(b+1) + b^2 = p \iff b^2 + 2b + 1 + b^2 + b + b^2 = p \iff \boxed{3b^2 + 3b + 1 = p}$

El ultimo digito lo podemos sacar analizando modulo 10, denotamos $b_r$ al resto de $b \pmod {10}$, siendo $b_r \in \{0, 1, 2, \dots , 9\}$. Simplemente reemplazando estos valores en $3b^2 + 3b + 1$ obtenemos que $p \equiv 1, 7, 9, 7, 1, 1, 7, 9, 7, 1 \pmod {10}$. Por lo tanto $p$ puede terminar en $1, 7$ o $9$. Es importante mostrar un ejemplo de que esos números existen ya que en caso contrario la solución estaría incompleta.

Para $7$: $4^3 - 3^3 = 37$
Para $1$: $5^3 - 4^3 = 61$
Para $9$: $18^3 - 17^3 = 919$
Vieja:
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El enunciado nos dice que $a^3 -b^3 = p$ con $p$ un numero primo. Por diferencia de cubos tenemos que $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = p$ pero como p es primo sus únicos divisores son $1$ y $p$ entonces como $a$ y $b$ son enteros podemos concluir que $a - b = 1 ; a^2 + ab + b^2 = p$.

Despejando de la primera ecuación y reemplazando en la segunda tenemos que:
$(b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = p$
$b^2 + 2b + 1 + b^2 + b + b^2 = p$
$3b^2 + 3b + 1 = p$
$3.b(b+1) + 1 = p$

Enfoquemos nos en la parte de $b(b+1)$ ¿Que pasa cuando multiplicamos un numero por su siguiente? $1.2 = 2 ; 2.3 = 6 ; 3.4 = 12 ; 4.5 = 20 ; 5.6 = 30 ; 6.7 = 42 ; 7.8 = 56 ; 8.9 = 72 ; 9.10 = 90; 10.11 = 110$ Si nos fijamos en el ultimo digito tenemos (2, 6, 2, 0, 0), (2, 6, 2, 0, 0). El cual es un patrón que se va a repetir para todos los naturales. Esto se debe a que la ultima cifra queda determinada por la multiplicación de las unidades, y las decenas, centenas, etc no nos importan.

Entonces tenemos que b(b+1) se puede expresar de la forma $10k + 2 ; 10k + 6 ; 10k$ con $k$ en los enteros no negativos.
Reemplazando en la ecuación tenemos:
1) $3.(10k + 2) + 1 = p$
$30k + 7 = p$
p puede terminar en 7.

2) $3.(10k + 6) + 1 = p$
$30k + 19 = p$
p puede terminar en 9.

3) $3.(10k) + 1 = p$
$30k + 1 = p$
p puede terminar en 1.


Respuesta final: El ultimo digito de $p$ puede ser $1, 7, 9$
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El problema lo resolví en la servilleta del hotel mientras comíamos jajjaja.
20231119_143912.jpg
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Última edición por drynshock el Vie 21 Jun, 2024 5:24 pm, editado 1 vez en total.
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Ignacio Daniele

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Re: Nacional 2023 N3 P4

Mensaje sin leer por Ignacio Daniele »

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$p=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$1\leq a$
$1\leq b$
Entonces:
$a^2+ab+b^2>1$
$p$ es primo, por lo que $a-b=1$ y $a^2+ab+b^2=p$, siendo $p$ la resta de los cubos de números consecutivos.
Si probamos con $a^3-(a-1)^3$, el resultado siempre tiene por unidad $1; 7$ o $9$, por lo que las posibles soluciones son esas (solo hace falta probar con $a=2; a=3; a=4; ...; a=8; a=9; a=10$ y $a=11$, pues como la unidad no cambia entre $(10x+a)^3$ y $a^3$ para $x$ entero y $a$ entero entre $2$ y $11$, se puede probar esos $10$ casos y sirve para comprobar los infinitos casos que existen).
Ahora muestro algunos casos que verifican que se puede con $1; 7$ y $9$.
$61=5^3-4^3$
$19=3^3-2^3$
$7=2^3-1^3$
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