Ana y Beto juegan un juego por turnos. Cada uno en su turno debe dibujar un segmento del plano de longitud $1$. Ana dibuja el primer segmento y a partir de ahí, cada uno en su turno debe comenzar un nuevo segmento en el punto final del segmento que lo precede. Cuando alguno dibuja un segmento que corta a otro de los segmentos ya dibujados en el menos un punto que no sea uno de sus extremos, pierde el juego.
a) Demostrar que tanto Ana como Beto pueden jugar para que el juego finalice si no les importa quién será el ganador.
b) ¿Hay alguno de los dos que tenga una estrategia ganadora?
Afirmo que la persona que quiere terminar puede mantener el conjunto de puntos de la poligonal en una bola acotada del plano.
Sea $J_1$ el que quiere terminar.
Sea $C$ un punto destacado del plano sobre el primer segmento que dibuja $J_1$ y $B(C, r)$ una bola centrada en $C$ de radio $r$. Afirmo que $J_1$ puede jugar para que, para $r$ grande, todos los extremos de segmentos de largo $1$ en los que acaba $J_1$ estén dentro de esa bola de donde se sigue que toda la poligonal está en $B(C, r + 1)$.
Es claro que si $J_1$ dibuja el segmento apuntando hacia $C$ (sin pasar por $C$, de lo contrario ya habría conseguido lo que quiere) $J_2$ no puede apuntarlo hacía afuera (sobre la recta considerada) ya que es el mismo segmento que habría sido dibujado una jugada antes.
Luego si $J_2$ hace una jugada saliendo de $B(C, r)$ no lo hace en la dirección radial hacia afuera por lo que $J_1$ podrá volver hacia $C$ entrando nuevamente en la bola.
Luego $J_1$ siempre termina sus jugadas dentro de la bola.
Supongamos que el juego sigue indefinidamente así, consideremos la sucesión de extremos de segmentos. Esta está en un conjunto acotado del plano. Si de ellos nos quedamos solo con la sucesión de extremos sobre los que empieza jugando $J_1$, $(p_n)$. Notar que $(p_n)$ tiene una subsucesión de Cauchy por lo que para todo punto de esos hay otro suficientemente cerca y en definitiva un segmento suficientemente cerca por lo que podremos perder si queremos, terminando el juego.
Afirmo que nadie puede forzar al otro a perder. Ya que todo jugador puede asegurarse seguir jugando en su turno. Para eso, supongamos que $J_1$ es un jugador que no quiere perder, veamos que puede no perder nunca.
Pongamos el eje de las $x$ sobre el primer segmento que dibuja $J_1$ con el sentido positivo en el sentido que fue dibujado el segmento. $J_1$ jugará en cada paso haciendo un segmento paralelo y en el mismo sentido al primero que hizo.
Si $J_1$ puede dibujar este segmento sin perder notar que el último extremo dibujado es aquel con la mayor componente $x$ entre los dibujados.
Ahora veamos que siempre puede dibujarlo sin perder.
Es claro que si $J_2$ juega hacia "la derecha" (un extremo con mayor coordenada en $x$) del último punto dibujado por $J_1$, $J_1$ puede dibujar su nuevo segmento sin problema.
Si $J_2$ juega su segmento hacia "la izquierda", supongamos que el nuevo segmento que dibuja $J_1$ interseca a algún otro segmento en $X$, perdiendo:
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Si el segmento anterior que contenía a $X$ no tiene uno de sus extremos en el interior de $\triangle A_1B_2P$ es porque lo interseca por segunda vez o bien en $B_2A_1$ por lo que $J_2$ habría perdido, o bien en $A_1P$ contradiciendo que $A_1$ sea el punto más a la derecha hasta el momento, o bien en $B_2P$ por lo que el segmento entero está contenido en la recta que determina $B_2P$ y $J_2$ también habría perdido así. Por lo que si $J_1$ es el primero en perder, el segmento que contenía a $X$ tiene uno de sus extremos dentro de $\triangle A_1B_2P$. Sea este punto $Y$, luego $Y$ es extremo de un segmento dibujado por $J_1$, pero este intersecaría o bien a $A_1P$ contradiciendo que $A_1$ fuera el punto más a la derecha hasta el momento o bien a $A_1B_2$ por lo que $J_2$ habría perdido.
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Luego $J_1$ no puede perder primero dibujando este segmento, o sea que si $J_2$ no pierde, $J_1$ puede asegurarse no hacerlo tampoco y ninguno tiene estrategia ganadora.
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