EGMO 2023 P2

[BR1]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $D$ el punto sobre su circunferencia circunscrita tal que $AD$ es un diámetro. Se marcan puntos $K$ y $L$ en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $DK$ y $DL$ son tangentes al circuncírculo de $AKL$.
Demostrar que la recta $KL$ pasa por el ortocentro de $ABC$.

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus alturas.

[gerez_robert]

Bueno este problema me encanta y estoy feliz de ahora tener mi propia demo. La anterior que encontré partia de una idea que no era mia y eso para mi era una pequeña puñalada en el pecho.
Solución:

Spoiler: mostrar

Sean $H$ el punto medio $KL$, $E=AH∩BC$ y $F=CH∩AB$.
Bien, como $AD$ pasa por la intersección de las tangentes a $(AKL)$, entonces $AD$ es simediana de $\angle A$ en $\triangle AKL$, se sigue $\angle KAH=\angle DAL=\angle DAC$.
Luego como $AD$ es diametro de $(ABC)$ y $AH$ es isogonal de dicha recta, tenemos $AE \perp BC$, además $BD \perp AB$, $DC \perp AC$ y $DH \perp KL$(la ultima es porque $\triangle DKL$ es isosceles).
$\Rightarrow$ $BKHD$ y $CLHD$ son cíclicos.
Por esto ultimo, por seminscrito y porque $ABDC$ es cíclico tenemos:
$180^{\circ}-\angle BDC=\angle BAC=\angle KAL=\angle KLD=\angle HLD=\angle HCD$, analogamente, $180^{\circ}-\angle BDC=\angle HBD$.
$\Rightarrow$ $BD \parallel HC$ y $DC \parallel BH$.
Por tanto, $BHCD$ es un paralelogramo.
Finalmente, $\angle ECH=\angle BCH=\angle DBC=\angle DAC=\angle KAH=\angle FAH$.
$\Rightarrow$ $AFEC$ es cíclico, lo que implica $CF \perp AB$.
Y eso es todo