En particular la única solución para [math]A+G=40 cumple a), pero la demostración de que es única se tiene que hacer sin tener en cuenta a), sino en general
[math]\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}=y-x
Multiplico ambos términos por 2: [math]x+y+2\sqrt{xy}=2y-2x
Paso restando los términos no afectados por la raíz: [math]2\sqrt{xy}=y-3x
Elevo al cuadrado ambas partes: [math]4xy=y^2-6xy+9x^2
Paso sumando el término de grado 1: [math]10xy=y^2+9x^2
Paso restando [math]y^2: [math]10xy-y^2=9x^2
Divido ambas partes por [math]9x: [math]\frac{10xy-y^2}{9x}=x
Divido ambos por [math]y: [math]\frac{10x-y}{9x}=\frac{x}{y}
Ahora bien, como [math]\frac{10x-y}{9x} y [math]\frac{x}{y} son fracciones equivalentes podemos expresar a la primera como la segunda multiplicada por [math]\frac{k}{k}, entonces obtenemos algo que aparentemente es una obviedad: [math]\frac{xk}{yk}=\frac{x}{y}
Pero por otro lado nosotros sabemos que [math]xk=10x-y y que [math]yk=9x, resto ambas y obtengo: [math]yk-xk=(y-x)k=(9x)-(10x-y)=y-x \Rightarrow k=1
Entonces [math]x=10x-y \Rightarrow y=9x, reemplazamos entonces y obtenemos: [math]\frac{x}{y}=\frac{x}{9x}=\frac{1}{9}
Y en la parte b) hice algo muy parecido a lo de Emi asi que no vale la pena reescribirlo...
Por otro lado no entiendo como Vladislao pasó de [math]x+2\sqrt{xy}+y = 80
a [math]\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{80}
turko.cnlp escribió:
Y en la parte b) hice algo muy parecido a lo de Emi asi que no vale la pena reescribirlo...
Por otro lado no entiendo como Vladislao pasó de [math]x+2\sqrt{xy}+y = 80
a [math]\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{80}
Sin embargo si $\frac{x}{y} = 1 \iff x = y \therefore x \not< y \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \frac{1}{9}}$ y podemos ver que funciona ya que en ese caso $9x = y \Rightarrow \frac{9x+x}{2} + \sqrt{9x.x} = 5x + 3x = 8x$ y como $9x -x = 8x$ entonces la igualdad es cierta.
Edit: Subo una nueva "parte B" pero no borro la otra porque me pareció interesante.
Como $0 < x < y$ entonces el modulo es positivo. Por consiguiente:
$\sqrt{x} = \sqrt{80} - \sqrt{y} \Rightarrow x = 80 -2\sqrt{80y} + y \Rightarrow x = y+80-\sqrt{320y}$
De donde $\sqrt{320y}$ es un cuadrado perfecto ya que los demás términos de la ecuación son enteros.
$320y = a^2 \Rightarrow 5.2^6y = a^2 \Rightarrow y = 5y'^2 \Rightarrow x = 5y'^2 + 80-40y' \Rightarrow x = 5(y'-4)^2$
Y como $x < y$ entonces, volviendo a la consigna inicial, $\frac{x+y}{2} + \sqrt{xy} = 40 \Rightarrow x + x < 40 \Rightarrow x < 20$. Como vimos que $x = 5(y'-4)^2$ entonces sabemos que $x$ es múltiplo de $5$, de donde $x \in \{5, 10, 15\}$ pero si $x = 10 \Rightarrow (y'-4)^2 = 2$ absurdo y si $x = 15 \Rightarrow (y'-4)^2 = 3$ absurdo. Por lo tanto $x = 5$ de donde $y' -4 = \pm 1 \Rightarrow y' = 5 \vee y' = 3$ y por lo tanto $y = 125 \vee y = 45$ respectivamente. Si verificamos ambas respuestas, podemos ver que
$\frac{5+125}{2}+\sqrt{5.125} = 90$ absurdo
$\frac{5+45}{2} + \sqrt{5.45} = 40$ Cumple
Se sigue que $(x, y) = \{(5, 45)\}$ y por lo tanto existe una única solución al problema.
Aclaro que no estoy del todo seguro si esto es legal y en caso de que no lo sea no me doy cuenta en que le estoy pifeando.
Veamos que $\frac{x+y}{2} + \sqrt{xy} = 40 \Rightarrow x+2\sqrt{xy}+y = 80 \Rightarrow \sqrt{x}^2 + 2\sqrt{xy} + \sqrt{y}^2 = 80$ (ya que ambos son positivos entonces es valido decir que $\sqrt{x}^2 = x$)
Ahora el temita, veamos que $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ y la pregunta es ¿De cuantas maneras podemos descomponer $\sqrt{80}$ de tal manera que el radicando sea entero?
Caso 1)
Grupo 1: $0$
Grupo 2: $\sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 4\sqrt{5} = \sqrt{80}$
Caso 2)
Grupo 1: $\sqrt{5}$
Grupo 2: $\sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5} = \sqrt{45}$
Caso 3)
Grupo 1: $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$
Grupo 2: $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$
Veamos primero que en el caso 1: $\sqrt{x} = 0 \vee \sqrt{y} = 0$ pero como eran positivos, entonces es absurdo.
En el caso 3 obtenemos que $\sqrt{x} = \sqrt{y} = \sqrt{20}$ pero como $x < y$ entonces también es absurdo.
Finalmente en el caso 2: $\sqrt{x} = \sqrt{5} \Rightarrow x = 5 \land \sqrt{y} = \sqrt{45} \Rightarrow y = 45$ por lo que concluimos que hay una única solución.