Urbana 2011 - N3 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Urbana 2011 - N3 P2

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

En particular la única solución para [math] cumple a), pero la demostración de que es única se tiene que hacer sin tener en cuenta a), sino en general
[math]
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Turko Arias

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Re: Urbana 2011 - N3 P2

Mensaje sin leer por Turko Arias »

En la parte a) yo plantie otra cosa distinta a lo que pusieron:
Spoiler: mostrar
[math]
Multiplico ambos términos por 2:
[math]
Paso restando los términos no afectados por la raíz:
[math]
Elevo al cuadrado ambas partes:
[math]
Paso sumando el término de grado 1:
[math]
Paso restando [math]:
[math]
Divido ambas partes por [math]:
[math]
Divido ambos por [math]:
[math]
Ahora bien, como [math] y [math] son fracciones equivalentes podemos expresar a la primera como la segunda multiplicada por [math], entonces obtenemos algo que aparentemente es una obviedad:
[math]
Pero por otro lado nosotros sabemos que [math] y que [math], resto ambas y obtengo:
[math]
Entonces [math], reemplazamos entonces y obtenemos:
[math]
Y en la parte b) hice algo muy parecido a lo de Emi asi que no vale la pena reescribirlo...
Por otro lado no entiendo como Vladislao pasó de
[math]
a
[math]
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jonyayala_95
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Re: Urbana 2011 - N3 P2

Mensaje sin leer por jonyayala_95 »

turko.cnlp escribió: Y en la parte b) hice algo muy parecido a lo de Emi asi que no vale la pena reescribirlo...
Por otro lado no entiendo como Vladislao pasó de
[math]
a
[math]
[math]

Entoces

[math]

[math] :D
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Turko Arias

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Re: Urbana 2011 - N3 P2

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Ah que pelotudo, como no me di cuenta... Gracias!
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drynshock

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Re: Urbana 2011 - N3 P2

Mensaje sin leer por drynshock »

¿De cuantas maneras se puede descomponer una raíz como suma de otras (enteros)?

Parte A)
Spoiler: mostrar
$$\frac{x+y}{2} + \sqrt{xy} = y-x$$
$$2\sqrt{xy} = y-3x$$
$$4xy = y^2 - 6xy + 9x^2$$
$$0 = y^2 -10xy + 9x^2$$
$$0 = 1 - 10\frac{x}{y} + 9(\frac{x}{y})^2$$

$$\frac{x}{y} = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 - 4.9.1}}{2.9}$$
$$\frac{x}{y} = \frac{10 \pm 8}{18}$$

$$\therefore \frac{x}{y} = \{\frac{1}{9}, 1\}$$

Sin embargo si $\frac{x}{y} = 1 \Longleftrightarrow x = y \therefore x \not< y \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \frac{1}{9}}$
Parte B)
Spoiler: mostrar
Aclaro que no estoy del todo seguro si esto es legal y en caso de que no lo sea no me doy cuenta en que le estoy pifeando.

Veamos que $\frac{x+y}{2} + \sqrt{xy} = 40 \Rightarrow x+2\sqrt{xy}+y = 80 \Rightarrow \sqrt{x}^2 + 2\sqrt{xy} + \sqrt{y}^2 = 80$ (ya que ambos son positivos entonces es valido decir que $\sqrt{x}^2 = x$)

Luego, $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 80 \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{80}$

Ahora el temita, veamos que $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ y la pregunta es ¿De cuantas maneras podemos descomponer $\sqrt{80}$ de tal manera que el radicando sea entero?

$\sqrt{80} = 4\sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5}$

Caso 1)
Grupo 1: $0$
Grupo 2: $\sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 4\sqrt{5} = \sqrt{80}$

Caso 2)
Grupo 1: $\sqrt{5}$
Grupo 2: $\sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5} = \sqrt{45}$

Caso 3)
Grupo 1: $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$
Grupo 2: $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$

Veamos primero que en el caso 1: $\sqrt{x} = 0 \vee \sqrt{y} = 0$ pero como eran positivos, entonces es absurdo.

En el caso 3 obtenemos que $\sqrt{x} = \sqrt{y} = \sqrt{20}$ pero como $x < y$ entonces también es absurdo.

Finalmente en el caso 2: $\sqrt{x} = \sqrt{5} \Rightarrow x = 5 \land \sqrt{y} = \sqrt{45} \Rightarrow y = 45$ por lo que concluimos que hay una única solución.

@Bauti.md ig
Math: Mental Abuse To Human
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