Sea $ABC$ un triángulo rectángulo e isósceles de hipotenusa $BC$. Consideramos los puntos $D$ en el cateto $AB$ y $E$ en el cateto $AC$ tales que $AD=\frac{3}{4}AB$ y $AE=\frac{3}{4}AC$. La paralela a $AC$ por $D$ corta a $BC$ en $G$, y la paralela a $AB$ por $E$ corta a $BC$ en $F$.
Si el área del trapecio $DEFG$ es igual a $10$, calcular la longitud de los catetos del triángulo $ABC$.
lean_gmzzZ escribió: ↑Sab 02 Nov, 2024 8:49 pm
Hola,estoy entrenando y veo varios problemas así.Alguien que sepa una posible solución para esto me podría ayudar?
Lo primero que te conviene es expresar $AD$ o $BD$ en términos de $x$, digamos que elegimos $AD = x$, entonces $\frac{3}{4}AB = x \iff AB = \frac{4}{3}x$. Notar que la medida $AB = AD+DB$, entonces siempre nos conviene saber cuanto mide cada partecita ($AD, BD$ en este caso) en vez de tener la suma de todo. Luego $AD+DB = \frac{4}{3}x \Rightarrow x+DB = \frac{4}{3}x \Rightarrow DB = \frac{1}{3}x$
Además, por ser isósceles el triangulo, podemos hacer el mismo razonamiento para llegar a que $AE = x, EC = \frac{1}{3}x$.
Recordemos que los ángulos en un triangulo rectángulo isósceles son $45^{\circ}, 90^{\circ}, 45^{\circ}$, entonces por paralelas $\angle DGB = \angle ACB = 45^{\circ}$ de donde $\triangle GDB$ es rectángulo isósceles, de donde $DG = BD = \frac{1}{3}x$. De igual forma, $EF = EC = \frac{1}{3}x$.
Ahora es cuestión de sumar las áreas, notar que ($|ABC|$ denota el área del triangulo $ABC$) $|ABC| = |BDG|+|DAE|+|FEC|+|DGFE|$, entonces podemos plantear la relación de áreas de dos maneras distintas. Una es
Luego, recordemos que nos piden la longitud de los catetos, entonces $AB = 6+\frac{6}{3} \Rightarrow \boxed{AB = 8 = AC}$ y por Pitágoras $BC = \sqrt{8^2+8^2} \Rightarrow \boxed{BC = 8\sqrt{2}}$.
Decimos que $AC=AB=4a$. Luego, $AD=AE=3a$ y $CE=BD=a$.
Ahora, si llamamos $H$ al punto de corte de $DG$ con $EF$, entonces $DHEA$ es un cuadrado de lado $3a$.
Pero además, tenemos $DG=BD=a$, de donde $HG=2a$. Analogamente llegamos a que $HF=2a$.
Luego, si decimos que $[HFG]=4x$.
Entonces tenemos la siguiente relacion de áreas, respecto a triangulos que comparten altura:
$\frac{[HFG]}{[GFD]}=\frac{HG}{DG}=\frac{2a}{a}=2$
$\Rightarrow [GFD]=\frac{[HFG]}{2}=2x$
Analogamente tenemos que:
$[DFE]=\frac{[HFD]}{2}=\frac{4x+2x}{2}=3x$
$\Rightarrow [DEFG]=5x$ y $[HED]=9x$
Luego como $DHEA$ es un cuadrado:
$[AED]=[HED]=9x$
Por otro lado, $BFED$ es un paralelogramo por tener sus cuatro laditos paralelos, de donde se sigue:
$[BFD]=[DFE]=3x$
Pero, $[BFD]=[GFD]+[BGD]=2x+[BGD]$
$\Rightarrow [BGD]=x$
Y $[CEF]=[BGD]=x$
Con todo esto llegamos a que:
$[ABC]=16x$
Y por el enunciado sabemos que:
$[DEFG]=5x=10$
$\Rightarrow 16x=32$
$\Rightarrow \frac{AB^{2}}{2}=\frac{AB.AC}{2}=[ABC]=16x=32$
$\Rightarrow AB=8, AC=8$
Como el $\triangle ABC$ es notable, de frente $BC=8\sqrt{2}$. $\blacksquare$
