Construcción con regla. Proyectividad

[adelarosa983]

Problema de geometría proyectiva:
Dos rectas por completo fuera del papel están determinadas cada una por dos pares de rectas que se cortan en puntos exteriores al papel. Determínese el punto de intersección por medio de otro par de rectas que pasen por él.

No sé resolverlo. Gracias por vuestra atención.

[Fran5]

No se entiende... hay $8$ rectas "dibujadas" en una hoja que pueden o no cortarse?

[Gianni De Rico]

Yo lo interpreto así

Tenés las rectas $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, $c_1$, $c_2$, $d_1$ y $d_2$. Definís $A=a_1\cap a_2$, $B=b_1\cap b_2$, $C=c_1\cap c_2$ y $D=d_1\cap d_2$.
El problema es que $A$, $B$, $C$ y $D$ están lejísimos entonces no los podés marcar en la hoja. Las rectas $AB$ y $CD$ también están lejísimos y por lo tanto tampoco las podés marcar en la hoja.
Si $E=AB\cap CD$, tenés que construir dos rectas $e_1$ y $e_2$ que pasen por $E$.

Tipo, todo salvo las rectas que te dan al principio queda afuera de la hoja porque está re lejos, y tenés que ver cómo dibujar $2$ rectas que pasen por ese punto lejísimos que no podés ver únicamente en base a las $8$ rectas del principio.

[Fran5]

A ver, esto es legal, no?

Spoiler: mostrar

Se me ocurre hacer un circulito, invertir las rectas $a_1 \ldots, d_2$, de modo que los puntos $A,B,C,D$ que están "lejos" ahora estén "adentro" del círculo.
Luego tenemos dos círculos que pasan por el centro de nuestro circulito, y su segundo punto de intersección es el inverso de $E$.

[Gianni De Rico]

Sí, yo creo que sirve, lo único que agrego es que

Spoiler: mostrar

eso solamente te da una recta que pasa por $E$ (la que pasa por el centro de inversión y por el inverso de $E$), así que tenés que hacer eso con dos centros distintos para terminar.

Me encantó la idea porque además te permite construir la recta $PE$ para cualquier punto $P$ del plano.

Inversión $\heartsuit$