Ale debe escribir un número de $20$ dígitos que tenga por lo menos $9$ dígitos distintos. A continuación Fede anota todos los números de dos dígitos que pueden quedar escritos al tacharle $18$ dígitos al número de Ale (algunos pueden comenzar con $0$ si Ale utilizó el $0$). El objetivo de Ale es que la lista de Fede contenga la menor cantidad posible de números primos (si un primo figura dos veces en la lista de Fede, se cuenta como dos primos). Dar un número que le permita a Ale lograr su objetivo, identificar todos los primos que tendrá la lista de Fede y justificar porqué es imposible lograr un número con el que la lista de Fede tenga menos primos.
Sabiendo que los primos que puede anotar Fede son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 71, 73, 79, 83, 89 ó 97.
Denominemos $x$ al número de 20 cifras y 9 dígitos distintos que debe eligir Ale.
Si vemos no hay ningún primo que comience con 6, por lo $x$ comenzará con 6.
También si vemos solo hay un primo comenzado con 5 y también solo hay un primo comenzado con 9, por lo que nos conviene utilizar alguno de estos dígitos al principio del número.
Supongamos que el número empieza así: 69...
Entonces tenemos que descartar el 7 ya que es la única forma de formar un primo empezado en 9.
Si vemos entonces nos conviene seguir el número con un 3, ya que descartamos el 7 y quedara una sola forma de crear un primo comenzado por 3.
Entonces el número quedaría así: 693...
Entonces ahora nos convendría seguirlo con un 5, ya que solo hay un primo comenzado por 5 ,y es 53 pero el 3 quedó atrás.
Después nos quedaría poner el último numero impar que podemos escoger(ya que descartamos el 7), el 1, quedando así: $x$ = 69351...
Entonces $x$ debe terminar en todos los números pares por escoger, de tal manera que no logremos un primo a causa del 0.
Quedando así: 693518420, pero como el número tiene que ser de 20 cifras repetimos algún número 11 veces.
Quedando : $x$ = 69999999999993518420.
Éste es uno de los valores de $x$, ya que hay varios que cumplen esta condición.
Entonces nos queda que el número que debe elegir Ale tendrá 1 solo primo formado al quitarle 18 dígitos.
Si $x$ = 69999999999993518420, entonces el primo que debe anotar Fede es el 31.
El número 99999999999931524680 tiene solo el 31 como primo en la lista de Fede. No existe una lista que no tenga ningún primo porque siempre estarán los números 1 y 3 o 7 y 9 los cuales estén en el orden que estén formarán un primo. Siempre habrá una de estas parejas porque en el número solo puede faltar uno de esos 4 dígitos.
