OMAlbum - Problema #A028

[Matías V5]

Decimos que un número de $8$ dígitos es feliz si es múltiplo de $99$ y además es de la forma $63a9b9c8$, donde $a,b,c$ son dígitos. Calcular la suma de todos los números felices.

[Genericool]

Si me pagaran un peso por cada vez que pierdo la estrellita por razonar bien pero publicar un resultado incorrecto, sería millonario. Esta vez dividí los números para verificar mi respuesta, pero publiqué la suma de los cocientes.

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Este problema se parece mucho al #A023. Dado que $99 = 9 \times 11$, los números felices deben ser múltiplos de $9$ y de $11$.

Para que un número sea múltiplo de $9$, la suma de sus dígitos también debe ser múltiplo de $9$, es decir que
\begin{align}
6 + 3 + a + 9 + b + 9 + c + 8 &= 9m \\
a + b + c + 35 &= 9m \\
a + b + c + 36 - 1 &= 9m \\
\end{align}
Ya que $36$ es múltiplo de $9$, $(a + b + c - 1)$ también debe serlo.

Para que un número sea múltiplo de $11$, la suma de los dígitos en las posiciones pares menos la suma de los dígitos en las posiciones impares debe ser múltiplo de $11$, es decir que
\begin{align}
(6 + a + b + c) - (3 + 9 + 9 + 8) &= 11n \\
6 + a + b + c - 29 &= 11n \\
a + b + c - 23 &= 11n \\
a + b + c - 22 - 1 &= 11n \\
\end{align}
Ya que $-22$ es múltiplo de $11$, $(a + b + c - 1)$ también debe serlo.

Ahora sabemos que $a + b + c - 1$ es múltiplo de $99$ porque es múltiplo de $9$ y de $11$.

Dado que $a$, $b$ y $c$ son dígitos, el único múltiplo posible es $0$, lo que significa que $a + b + c = 1$. Esto solo es posible si uno de ellos es $1$ y los dos restantes son $0$. Por lo tanto, concluimos que hay tres números felices: $63090918$, $63091908$ y $63190908$. Su sumatoria arroja $189373734$.

[Sergiohuang2004]

Si me pagaran un peso por cada vez que pierdo la estrellita por razonar bien pero publicar un resultado incorrecto, sería millonario. Esta vez dividí los números para verificar mi respuesta, pero publiqué la suma de los cocientes.

Jajajaja.A mí me pasó algo similar.Lo que pasó fue que había hecho todo bien y al momento de sumar los tres números me dio dos veces mal,por poner mal los números en la calculadora.

[JFMath1]

Mi solución:

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Tenemos inicialmente que:
$\overline{63}+\overline{a9}+\overline{b9}+\overline{c8}=m(99)$ (Criterio de divisibilidad del 99)
Entonces: $10\times(a+b+c)+89=m(99)$, con la condición de que $a$, $b$ y $c$ sean enteros positivos menores a 10. Utilizando los valores máximos para $a$, $b$ y $c$ (en este caso, 9), obtenemos: $270+89=359$. Esto nos impide que el múltiplo de 99 sea mayor que esta cifra, porque entonces $a$, $b$ y/o $c$ serían mayor o igual a 10, cosa que no queremos. Con esto obtenemos 3 casos:

• $10\times(a+b+c)+89=99$

• $10\times(a+b+c)+89=198$

• $10\times(a+b+c)+89=297$

$\mathbb{Caso} 1$:
$10\times(a+b+c)=10$
Por lo que: $a+b+c=1$. Por lo que tenemos 3 opciones para este caso.

$\mathbb{Caso} 2$:
$10\times(a+b+c)=109$
Y como $109$ no es múltiplo de $10$, no existe ningún número feliz en este caso.

$\mathbb{Caso} 3$:
$10\times(a+b+c)=208$
Aquí sucede lo mismo que el caso anterior, por lo que no existe ningún número feliz.

Con esto concluimos que solo existen 3 números felices, siendo estos:

• $63090918$

• $63091908$

• $63190908$

Entonces el resultado es $189373734$.