XLVI Torneo Internacional de las Ciudades Octubre 2024 NJ P3

[Kechi]

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $I$ su incentro y $O$ su circuncentro. Las rectas $AI$ y $CI$ cortan por segunda vez al circuncírculo del $ABC$ en los puntos $N$ y $M$ respectivamente. Los segmentos $MN$ y $BO$ se cortan en $X$. Demostrar que las rectas $XI$ y $AC$ son perpendiculares.

TICoctubre2024NJP3.png

[Gianni De Rico]

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Como $BM=IM$ y $BN=IN$, tenemos que $I$ es el simétrico de $B$ por $MN$. Entonces\begin{align*}\angle KIC & =\angle XIM \\
& =\angle MBX \\
& =\angle MBO \\
& =90^\circ -\angle BCM \\
& =90^\circ -\angle BCI \\
& =90^\circ -\angle ICA \\
& =90^\circ -\angle ICK.
\end{align*}Se sigue que $\angle CKI=90^\circ$, es decir, que $XI\perp AC$, como queríamos.