Entrenamiento Cono Sur 2023 Simulacro P2

[Kechi]

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=90^\circ$. Sean $D$ y $E$ los pies de las bisectrices de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$ respectivamente; $BD$ y $CE$ se cortan en $I$. Sean $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares desde $D$ y $E$ hasta $BC$, respectivamente. Demostrar que el triángulo $IPQ$ es rectángulo e isósceles.

[Gianni De Rico]

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Notemos que $ABD\equiv PBD$ por tener dos ángulos (los rectos y los de la bisectriz) y un lado igualmente dispuestos respectivamente congruentes. Entonces $BD$ es la mediatriz de $AP$, con lo que $I$ está en la mediatriz de $AP$, y por lo tanto $AIPC$ es cíclico, pues $I$ también está en la bisectriz de $\angle ACP$. Se sigue que$$\angle IPQ=\angle IAC=45^\circ$$(la última igualdad vale pues $I$ es el incentro de $ABC$). Análogamente se tiene que $\angle IQP=45^\circ$. Entonces en triángulo $IPQ$ es rectángulo e isósceles, como queríamos (notemos también que $I$ es el circuncentro de $APQ$, pues es el punto de intersección de las mediatrices de $AP$ y $AQ$).

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