IGO 2018 - Nivel Intermedio P4

[BR1]

Se tiene un poliedro con todas sus caras triangulares. Sea $P$ un punto arbitrario de una arista del poliedro tal que $P$ no es ni el punto medio ni un extremo de esa arista. Definimos $P_0 = P$. En cada paso conectamos $P_i$ con el baricentro de una de las caras que lo contienen. Esta recta corta nuevamente al perímetro de esa cara en $P_{i+1}$. Continuamos este proceso con $P_{i+1}$ y la otra cara que contiene a $P_{i+1}$. Demostrar que continuando este procedimiento es imposible pasar por todas las caras.

Nota: El baricentro es el punto de intersección de las medianas.

[enigma1234]

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Supongamos que $P_0$ está en la arista $AB_0$ tal que $P_0A>P_0B_0$. Si elige la cara $AB_0B_1$, donde $M$ y $N$ son puntos medios de $AB_0$ y $AB_1$ respectivamente. Como $B_0N$ intersecta $B_1M$ en el baricentro, podemos deducir que $P_1$ es está en la arista $AB_1$ y $P_1A>P_1B_1$.

Finalmente, si seguimos este procedimiento, notamos que $P_i$ estará en una arista $AB_i$ tal que $P_iA>P_iB_i$ y por lo tanto en este procedimiento solo pasamos por caras que contengan a $A$, y como existe una cara que no contiene a $A$, no pasamos por todas las caras.

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