Regional 2023 N3 P1

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Felibauk

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Regional 2023 N3 P1

Mensaje sin leer por Felibauk »

Un círculo está dividido mediante $15$ diámetros en $30$ regiones iguales. Hay que distribuir en las regiones los múltiplos de $50$, desde $50$ hasta $1500$, sin repeticiones (o sea, $50,100,150,\ldots ,1500$).
A continuación, se efectúan todas las posibles sumas de los números de tres regiones consecutivas (son $30$ sumas). Decidir si se puede lograr que todas esas sumas sean menores que $2349$.
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AmogusFalopa69
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Re: Regional 2023 N3 P1

Mensaje sin leer por AmogusFalopa69 »

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30x(50+1500)/2=23250 23250/10=2325
Para poder hacer 10 con los múltiplos de 50 del 50 al 1500 menores a 2349, debemos hacer que todas las sumas sean 2300. De no ser esto posible van a haber algunas sumas que den más.
Para hacer una suma que de 2300 necesitas:
3 números terminados en 00
o 2 números terminados en 50 y uno terminado en 00.
Como hay la misma cantidad de números terminados en 00 que números que números terminados en 50, solo se podrán realizar 5 sumas que den 2300. Las otras cinco deben sumar necesariamente 2250 pero esto no es posible porque la suma total no da. Entonces te quedarán 5 sumas de 2300, 4 sumas de 2250 y una suma de 2750.
23250-5x2300-4x2250=2750
Es por esto que no se pueden realizar 10 grupos de múltiplos de 50 distintos que den menos de 2349, y por ende no se pueden realizar las 30 sumas.

Yo mande esto en el examen, me confundi en la cantidad de sumas que podes armar que den 2300 (Eran 9, en vez de 5) pero la metodologia para la demostracion es en teoria la misma ¿Consideran que esto puede valer --2? :oops:
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Lean

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Re: Regional 2023 N3 P1

Mensaje sin leer por Lean »

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De $50$ en $50$ la suma de tres grupos necesariamente termina en $0$. Entonces, cada trio de tres numeros debe ser $\leq 2300$. Pero entonces $2300*10=23000<(\frac{30*31}{2})*50$. Entonces no es posible.
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Gianni De Rico

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Re: Regional 2023 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Cada región se suma $3$ veces (una como la primera de las tres regiones consecutivas, una como la del medio y una como la última). Entonces si sumamos los $30$ valores obtenidos nos da $3$ veces la suma de todas las regiones, que es igual a $50\cdot \dfrac{30\cdot 31}{2}=25\cdot 30\cdot 31$ (esto sale de sacar factor común $50$ y hacer la Suma de Gauss). El promedio de los $30$ valores es entonces $\dfrac{3\cdot 25\cdot 30\cdot 31}{30}=3\cdot 25\cdot 31=2325$, así que tiene que haber alguno de los valores que sea al menos $2325$. Pero como todos los números de las regiones son múltiplos de $50$, cada uno de los números calculados es múltiplo de $50$, así que si un valor es al menos $2325$, entonces es al menos $2350>2349$. Concluimos que no se puede lograr lo pedido.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Carpcho
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Re: Regional 2023 N3 P1

Mensaje sin leer por Carpcho »

Algo que no termino de entender es si serian 30 o 90 sumas.
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En el que caso que sean 90, 3 por cada una como dice Gianni, entonces se dividiría sobre 90 y el promedio valdría 775, ¿En qué me estoy equivocando? Edit: Lo mismo con la solución de Lean que toma 10 trios, ¿No existen 3 trios por region?
Edit: Son 30, estaba contando triple, ya que una region con las dos consecutivas es lo mismo que la siguiente con las del costado y la siguiente-siguiente con las dos anteriores. Dejando de lado eso, la solución de Gianni es la que más se acerca a lo que estaba realizando.
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santibodetto
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Re: Regional 2023 N3 P1

Mensaje sin leer por santibodetto »

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Llamemos $𝑅_1
,
𝑅_2
,

,
𝑅_{30}$ a las diferentes regiones.

A cada una se le va a asignar un múltiplo de 50, si ese multiplo esta asignado por ejemplo e $R_{20}$ va a estar presente en tres sumas,

$[R_{18} + R_{19} + R_{20}]$ ; $[R_{19} + R_{20} + R_{21}]$ ; $[R_{20} + R_{21} + R_{22}]$

Entonces, para calcular la suma total, basta con sumar 3 veces cada uno de los multiplos de 50, y esto se puede hacer facilmente, Vamos a decir que $750 = N$, entonces:

$[(N - 750) + \dots + (N - 50) + N + (N + 50) + \dots + (N + 750) + 1500] \cdot 3 = S = \text{suma total}$

$[ 29 \cdot N + 1500] \cdot 3 = S$

$3 \cdot 29 \cdot 750 + 4500 = S = 69750$

Siendo el promedio de las sumas:

$\frac{69750}{30} = 2325$


Como $2325 > 2300$, Hay al menos una suma que dará un resultado mayor o igual que $2350$ y, por lo tanto, no se puede lograr el objetivo.
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