IMO 2014 Problema 4

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Fran5

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Re: IMO 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por Fran5 »

drynshock escribió: Lun 13 Ene, 2025 2:41 am
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Esto nos dice que $(A, F; H, G)$ es armónico, y por lema $3$ $(A, F; B, C)$ también, es decir que $AFBC$ es cíclico, como queríamos demostrar.

$\blacksquare$


Estás usando tu lema al revés. El lema dice
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Si $AXBY$ es cíclico entonces este es Armónico
Y lo que vos concluis es
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$AFBC$ es Armónico, por lo tanto es cíclico
Esto se arregla con el lema 4 (Que me parece más teorema que lema) y tramposética
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Sean $A,B,C$ tres puntos distintos no alineados (por lo tanto están sobre alguna circunferencia $\Gamma$). Existe un UNICO punto $P=P_A \in \Gamma$ tal que $A,B,C,P$ es armónico. En particular $P$ está en $\Gamma$.
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drynshock

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Re: IMO 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por drynshock »

Fran5 escribió: Lun 13 Ene, 2025 5:00 pm
drynshock escribió: Lun 13 Ene, 2025 2:41 am
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Esto nos dice que $(A, F; H, G)$ es armónico, y por lema $3$ $(A, F; B, C)$ también, es decir que $AFBC$ es cíclico, como queríamos demostrar.

$\blacksquare$


Estás usando tu lema al revés. El lema dice
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Si $AXBY$ es cíclico entonces este es Armónico
Y lo que vos concluis es
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$AFBC$ es Armónico, por lo tanto es cíclico
Esto se arregla con el lema 4 (Que me parece más teorema que lema) y tramposética
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Sean $A,B,C$ tres puntos distintos no alineados (por lo tanto están sobre alguna circunferencia $\Gamma$). Existe un UNICO punto $P=P_A \in \Gamma$ tal que $A,B,C,P$ es armónico. En particular $P$ está en $\Gamma$.
Tenes razón, igual combinando lema $3$ y $2$ llegas, porque
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Por tramposetica, sí $F' = AG \cap (ABC)$, entonces por lema $3$ $(A, F'; B, C) = -1 = (A, F'; H, G)$ y por lema $2$ tenes $F' = F$.
@Bauti.md ig
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