P3 N1 Regional 2005

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Olímpico

OFO - Mención-OFO 2016
Mensajes: 185
Registrado: Sab 25 Ago, 2012 3:30 pm
Medallas: 1
Nivel: 2

P3 N1 Regional 2005

Mensaje sin leer por Olímpico » Mié 12 Sep, 2012 10:15 pm

Sea $ABCD$ un rectángulo de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, y sean $K$ y $L$ los puntos medios de los lados $BC$ y $DA$, respectivamente. La perpendicular a $AK$ trazada desde $B$ corta a $CL$ en $M$.
Calcular $\dfrac{\text{Área}(ABKM)}{\text{Área}(ABCL)}$.

tuvie

Colaborador-Varias OFO - Medalla de Oro-OFO 2015 OFO - Medalla de Oro-OFO 2016 FOFO 6 años - Medalla Especial-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años OFO - Jurado-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020
Mensajes: 608
Registrado: Dom 09 Sep, 2012 11:58 am
Medallas: 12
Nivel: Exolímpico

Re: P3 N1 Regional 2005

Mensaje sin leer por tuvie » Mié 02 Ene, 2013 2:44 pm

Sea $M^{\prime}=MB\cap{AK}$. Es fácil notar que $AK\parallel{CL}$ por lo que $AKCL$ es un paralelogramo. Con esto podemos decir que $\text{Area}(ABCD)=2 \times \text{Area(AKCL)} = 4 \times \text{Area(AKM)}=4 \times \text{Area(ABK)}$. Porque $AKM$ tiene misma altura y base que el paralelogramo y $ABK$ tiene misma base pero la mitad de su altura que el rectángulo. Con esto ya podemos decir que $\frac{Área(ABKM)}{Área(ABCD)}=\frac{1}{2}$ y estamos.

Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador-Varias OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 412
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 9
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: P3 N1 Regional 2005

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 12 Ago, 2019 9:41 pm

Bien detalladita y con el resultado bien puesto :P
Spoiler: mostrar
Sea $\alpha=\angle DCL$, como $CDL$ es un triángulo rectángulo, $\angle CLD=90°-\alpha$. Por otro lado, como $BK=DL$, $AB=CD$ y $\angle CDL= \angle ABK= 90°$ tenemos que los triángulos $CDL$ y $ABK$ son iguales, y por ende $\angle BAK=\alpha$, por lo que $\angle KAL=90-\alpha$, y podemos deducir que $AK$ es paralela a $CL$. Por otro lado, claramente $AL$ es paralelo a $CK$, por lo que combinando ambas cosas tenemos que $AKCL$ es un paralelogramo. Sea $x=A(ABK)$, trazando $KL$ tenemos la figura partida en $ABK, AKL, CKL, CDL$ que son cuatro triángulos iguales de área $x$. Ahora bien, notemos que $A(AKCL)=2x$, y por ende $A(AKC)=x$. Ahora bien, los triángulos $AKM$ y $AKC$ comparten la base $AK$ y su tercer vértice se encuentra sobre una recta paralela a su base, por lo que tienen igual área y $A(AKM)=x$.Tenemos entonces $\frac{A(ABKM)}{A(ABCL)}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$.
Fundamentalista del Aire Acondicionado

Responder