Ñandú - Provincial - 2011 - Nivel 1 - Problema 3

[Pirógeno]

En los vértices del hexágono de la figura, se escriben, de menor a mayor siguiendo el sentido que señala la flecha, todos los múltiplos de $4$ menores que $2011$.

n1 prov 2011 p3.jpg

Se escribe el $4$ en $A$, el $8$ en $B$, el $12$ en $C$, etc.
¿Cuál es el último número que se escribe?
¿En qué vértice se escribe este número?

[lendsarctic280]

Solução:

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Para descobrir o último número, fazemos $2011-3=2008$ pois $2011\equiv3\pmod 4$. Como o hexágono possui seis vértices, vejamos alguns termos: $$4=A$$ $$8=B$$ $$12=C$$ $$16=D$$ $$20=E$$ $$24=F$$ $$28=A$$ $$\vdots$$Assim, podemos deduzir que, se $4\mid n$, e $m$ é o resto deixado por $\frac{n}{4}$ na divisão por $6$, então $m$ é a posição desse número no hexágono. Logo como $\frac{2008}{4}=502$, vemos que $502\equiv4\pmod 6$ e portanto ele ocupa a posição $4\ast4=4^2=16=D$. $\blacksquare$