Zonal 2025 Nivel 2 Problema 3

[agleidhold]

Sea $ABCD$ un cuadrado de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de los lados $BC$ y $DA$, respectivamente. El punto $F$ en el segmento $CL$ es tal que el triángulo $BCF$ es rectángulo en $F$.
Calcular $\dfrac{\text{área}(ABKF)}{\text{área}(ABCD)}$.

[fedep]

Creo que faltó la parte del enunciado en la que define $K$ y $L$ (puntos medios de $BC$ y $DA$ respectivamente)

[hernan1141]

Solución bonita:

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CL y KA son paralelas, entonces podemos afirmar que los triángulos AKF y AKL tienen la misma área (misma base y tercer punto en la otra paralela).
ABKF tiene la misma área que el rectángulo ABKL por lo q probamos antes y la solución es 1/2 ya que el rectángulo es la mitad del cuadrado, fin.

[lendsarctic280]

Solução:

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$\large{\color{magenta}{\blacktriangleright}}$ Primeiro que tudo, para resolver o Problema $3$ -Nível $2$ - Etapa Zonal - $2025$, usaremos a seguinte figura:

Por serem $K$ e $L$ pontos médios, $KL$ é base média e igual aos lados do quadrado. Logo, $AB\parallel KL\parallel CD$. Além disso, $ALCK$ é um paralelogramo, logo $AL=KC=\frac{AB}{2}$. Além disso, os triângulos $\triangle AKF$ e $\triangle AKL$ possuem áreas iguais, já que possuem mesma base e altura. Então a área de $ABKL$ possui a mesma área de $ABFK$, igual a metade da área do quadrado. Portanto, nossa resposta é $$\dfrac{\text{área}(ABKF)}{\text{área}(ABCD)}=\boxed{\frac{1}{2}}.$$ $$\Huge{\color{magenta}{\blacksquare}}$$

Comentário:

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Me parece ser mais fácil que o problema geométrico do Nível $1$.

[Fran5]

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El area de ABKF es igual a la de ABCL restando CKF y AFL

El área de ABCL es 3/4 de ABCD
Las áreas de CKF y AFL suman 1/4 de ABCD (misma base y la altura es igual a AB)

Luego el cociente es 1/2