Lucas eligió un número natural $n$ de dos dígitos, calculó $10^n-n$ y luego sumó los dígitos del número calculado. La suma que obtuvo es un múltiplo de $170$. Determinar todos los posibles valores del número $n$ de dos dígitos que eligió Lucas.
Última edición por ktc123 el Lun 24 Sep, 2012 3:36 pm, editado 2 veces en total.
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨
Sea [math]n=10a+b, dividimos el problema en [math]2 casos.
1) [math]b=0 de modo que [math]n=10a.
Resolviendo la cuenta queda: [math]10^n-n=1\underset{n}{\underbrace{000...000}}-10a=\underset{n-2}{\underbrace{999...999}}+10 \times (10-a). Por lo tanto la suma de las cifras es [math]9 \times (n-2)+(10-a)=9 \times (10a-2)+(10-a)=89 \times a-8.
Por congruencia, si [math]170\mid 89 \times a-8, entonces [math]170\mid 89 \times a-178=89 \times (a-2). Como [math]89 y [math]170 son coprimos sale que [math]170\mid (a-2). Por lo tanto [math]a=2 => [math]n=20 es la unica respuesta.
2) [math]b\neq 0 de modo que [math]n=10a+b.
Resolviendo la cuenta queda: [math]10^n-n=1\underset{n}{\underbrace{000...000}}-10a-b=\underset{n-2}{\underbrace{999...999}}+10 \times (9-a)+(10-b). Por lo tanto la suma de las cifras es: [math]9 \times (10a+b-2)+(9-a)+(10-b)=89 \times a+8 \times b+1.
Por congruencia, si [math]170\mid 89 \times a+8 \times b+1 entonces [math]170\mid 89 \times(a+2b)+1. Ahora [math]a+2b\leq 27 y como [math]170 es multiplo de [math]10 entonces [math]89 \times(a+2b)+1 tiene la cifra de las unidades igual a [math]0. Sigue que [math]89 \times(a+2b) tiene cifra de las unidades igual a [math]9 y eso solo se consigue si la cifra de las unidades de [math]a+2b es [math]1. Por lo tanto los posibles valores de [math]a+2b son [math]1,11 y [math]21. Para el unico que se consigue un multiplo de [math]170 es [math]21 => [math]89 \times 21+1=170 \times 11.
Por lo tanto, [math]a+2b=21
[math]b=\frac{21-a}{2}. Sigue que los valores de [math]a que son soluciones son los impares mayores o iguales que [math]3.
Entonces, los valores [math]n que verifican lo pedido son: [math]20,39,58,77 y [math]96
Como el número [math]n tiene dos dígitos, [math]10^n-n va a tener n cifras, de las cuales [math]n-1 son 9, porque si tuviese [math]n-1 nueves de izquierda a derecha n debería ser 10 y no cumple el enunciado. [math]10^n-n=(n-2)9+s(100-n), siendo [math]s(100-n) la suma de las cifras de [math]100-n. Esta suma de las cifras, es un número entre 2 y 18 inclusive.
Entonces buscamos números de la forma [math](n-2)9 de 2 cifras, cuya diferencia con un múltiplo de [math]170 sea menor o igual a 18. Los número que cumplen la condición son: [math]17;18;36;37;55;56;74;75;93 y 94, de los cuales solo el [math]18;37 y [math]56 cumplen el enunciado.
Resumiendo los número son:[math]20;39 y [math]58
Si [math]n=10a+b y [math]b=0 entonces [math]9(n-2)+10-a=170k [math]9(10a+b-2)+10-a=170k [math]90a+9b-18+10-a=170k [math]89a+9b-8=170k [math]b=0 [math]89a-8=170k [math]170k=89a-8\leq 89.9-8 [math]k\leq 4
Probando con todos los [math]k\in \{1;2;3;4\} solo [math]k=1 funciona y queda que [math]a=2 [math]n=20
Si [math]b>0 entonces: [math]9(n-2)+(9-a)+(10-b)=170k [math]9(10a+b-2)+9-a+10-b=170k [math]90a+9b-18+19-a-b=170k [math]89a+8b=170k-1 [math]170k-1=89a+8b\leq 89.9+8.9=873 [math]170k-1\leq 873 [math]k\leq 5 [math]k\in \{1;2;3;4;5\}
Después termino la solución
Última edición por 3,14 el Lun 23 Sep, 2013 3:00 pm, editado 1 vez en total.
Si $n=10a+b$ y $b=0$ entonces
$9(n-2)+10-a=170k$
$9(10a+b-2)+10-a=170k$
$90a+9b-18+10-a=170k$
$89a+9b-8=170k$
$b=0$
$89a-8=170k$
$170k=89a-8\leq 89.9-8$
$k\leq 4$
Probando con todos los $k\in \{1;2;3;4\}$ solo $k=1$ funciona y queda que $a=2$
$n=20$
Si $b>0$ entonces:
$9(n-2)+(9-a)+(10-b)=170k$
$9(10a+b-2)+9-a+10-b=170k$
$90a+9b-18+19-a-b=170k$
$89a+8b=170k-1$
$170k-1=89a+8b\leq 89.9+8.9=873$
$170k-1\leq 873$
$k\leq 5$
$k\in \{1;2;3;4;5\}$
Después termino la solución
