P3 N1 Regional 2005

[Olímpico]

Sea $ABCD$ un rectángulo de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, y sean $K$ y $L$ los puntos medios de los lados $BC$ y $DA$, respectivamente. La perpendicular a $AK$ trazada desde $B$ corta a $CL$ en $M$.
Calcular $\dfrac{\text{Área}(ABKM)}{\text{Área}(ABCL)}$.

[tuvie]

Sea $M^{\prime}=MB\cap{AK}$. Es fácil notar que $AK\parallel{CL}$ por lo que $AKCL$ es un paralelogramo. Con esto podemos decir que $\text{Area}(ABCD)=2 \times \text{Area(AKCL)} = 4 \times \text{Area(AKM)}=4 \times \text{Area(ABK)}$. Porque $AKM$ tiene misma altura y base que el paralelogramo y $ABK$ tiene misma base pero la mitad de su altura que el rectángulo. Con esto ya podemos decir que $\frac{Área(ABKM)}{Área(ABCD)}=\frac{1}{2}$ y estamos.

[Turko Arias]

Bien detalladita y con el resultado bien puesto

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Sea $\alpha=\angle DCL$, como $CDL$ es un triángulo rectángulo, $\angle CLD=90°-\alpha$. Por otro lado, como $BK=DL$, $AB=CD$ y $\angle CDL= \angle ABK= 90°$ tenemos que los triángulos $CDL$ y $ABK$ son iguales, y por ende $\angle BAK=\alpha$, por lo que $\angle KAL=90-\alpha$, y podemos deducir que $AK$ es paralela a $CL$. Por otro lado, claramente $AL$ es paralelo a $CK$, por lo que combinando ambas cosas tenemos que $AKCL$ es un paralelogramo. Sea $x=A(ABK)$, trazando $KL$ tenemos la figura partida en $ABK, AKL, CKL, CDL$ que son cuatro triángulos iguales de área $x$. Ahora bien, notemos que $A(AKCL)=2x$, y por ende $A(AKC)=x$. Ahora bien, los triángulos $AKM$ y $AKC$ comparten la base $AK$ y su tercer vértice se encuentra sobre una recta paralela a su base, por lo que tienen igual área y $A(AKM)=x$.Tenemos entonces $\frac{A(ABKM)}{A(ABCL)}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$.

[irinacaramuti06]

Lo que yo hice fue:

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Primero, sé que el área del cuadrilátero $ABKM$ es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos rectángulos iguales $ABK$ y $AKM$, es decir: $2\frac{AB\frac{1}{2}BC}{2}$, lo que es igual a $\frac{1}{2}AB\cdot BC$
Mientras tanto, el área del cuadrilátero $ABCL$ es igual al área del rectángulo $ABCD$, menos el área del triángulo $CDL$, es decir, $AB\cdot BC-\frac{\frac{1}{2}BC\cdot AB}{2}=\frac{3AB\cdot BC}{4}$.
Por lo tanto , el área$$\frac{ABKM}{ABCL}=\frac{\frac{AB\cdot BC}{2}}{\frac{3}{4}AB\cdot BC}=\frac{2}{3}$$

Espero se haya entendido