Sea $MNOP$ un cuadrado de lados $MN=NO=OP=PM=1$. Consideramos la circunferencia de centro $O$ y radio $1$. La recta $MO$ intersecta a la circunferencia en los puntos $K$, interior al cuadrado, y $L$, exterior al cuadrado. La recta $LP$ intersecta a la prolongación del lado $NM$ en $S$. Hallar el área del triángulo $KMS$.
La diagonal del cuadrado es $\sqrt{2}$. Por thales $\frac{LO}{OP}=\frac{LO+OM}{SM}$ por lo que $SM=1+\sqrt{2}$. Para sacar la altura de $SMK$ pongamos un punto $Q$ en $MN$ tal que $MP\parallel QK$. $\angle MQK$ es recto y los angulos $\angle MKQ=\angle QMK=45^\circ$, la hipotenusa de ese triangulo es claramente $\sqrt{2}-1$ por lo que los catetos van a medir $\sqrt{\frac{3}{2} -\sqrt{2}}$. Ahora que tenemos la base y la altura sacamos el area que para no escribirlo es aprox 0.353553 y estamos
Como la circunferencia tiene centro $O$ y redio $1$ entonces pasa por $P$. De ahí se obtiene que $OP=OL$ y por lo tanto el triángulo $POL$ es isósceles en $O$. Como $OP\parallel SM$ se tiene que $SML\simeq POL\Rightarrow SML$ es isósceles en $M$. De donde $SM=ML=\sqrt{2}+1$
Además $N\widehat MK=45^\circ$ y $MK=ML-LK=\sqrt{2}+1-2=\sqrt{2}-1$. Por lo tanto la altura $h$ desde $K$ es $h=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot MK=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left (\sqrt{2}-1\right )=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Finalmente, el área de $KMS$ es\begin{align*}[KMS] & =\frac{SM\cdot h}{2} \\
& =\frac{\left (\sqrt{2}+1\right )\cdot \left (1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}{2} \\
& =\frac{\sqrt{2}\cdot \left (1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )+1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \\
& =\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \\
& =\frac{\sqrt{2}-1+1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \\
& =\frac{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \\
& =\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \\
& =\frac{\sqrt{2}}{4}.
\end{align*}
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$MK = \sqrt{2} -1$ esto es automático por Pitágoras y luego le sacamos el radio que vale 1.
Por Thales: $\frac{\sqrt{2}+1}{1} = \frac{SM}{1} \Rightarrow SM = \sqrt{2} + 1$
Casi por ultimo: Trazamos la altura desde $K$ hacia $MN$ llamémosla $W$, donde obtenemos que $KW = MW$ por ser un triangulo semejante a $MNO$.
Por Pitágoras nos queda que $2KW^2 = (\sqrt{2} - 1)^2 \Rightarrow KW = \sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{2}}$.
Finalmente para sacar el área tenemos que: $A = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{2}})}{2}$
$MO=\sqrt{2}$ es por Pitágoras, luego le restamos $KO$ que es $1$ por ser radio y entonces tenemos $MK=\sqrt{2}-1$ además como $K\widehat{M}N=45$ por ser $MO$ diagonal, luego tenemos $K\widehat{M}S=135$. Al ser $LNMP$ un romboide tenemos que $ML$ es bisectriz entonces $M\widehat{L}S=22,5$ y entonces $M\widehat{S}L=22,5$ se sigue que $MS=ML=\sqrt{2}+1$ luego tenemos $(MSK)=MK.MS.\frac{1}{2}.sen(135)=\frac{\sqrt{2}}{4}$
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