Ángulos en una circunferencia
Ángulos en una circunferencia
Estaba resolviendo un problema y me surgió una duda. Sabemos que el ángulo central correspondiente a un ángulo inscripto es el doble de éste. Pero mi duda es: ¿El único lugar geométrico dentro de una circunferencia para que se cumpla esto es el centro de la circunferencia? Es decir, hay otro ángulo correspondiente al inscripto tal que sea el doble de éste?
[math]
Re: Ángulos en una circunferencia
No, hay infinitos puntos que cumplen eso.
Veamos esta imagen: Supongamos que tenemos la circunferencia azul de centro $O$ con los puntos $A$, $B$ y $C$ en ella.
Sabemos que $B\hat{O}C = 2B\hat{A}C$.
Si $B\hat{A}C = 90^\circ$ entonces $B\hat{O}C = 180^\circ$, es decir, $B$, $C$ y $O$ están alineados, y por lo tanto cualquier punto sobre $BC$ cumple lo pedido.
Ahora supongamos que $B\hat{A}C \neq 90^\circ$, y por ende $B$, $C$ y $O$ no están alineados. Marquemos la circunferencia roja que pasa por los puntos $O$, $B$ y $C$ (existe porque no están alineados). Tomemos un punto $P$ cualquiera en el arco rojo $BC$ que contiene a $O$. Nos queda que $B\hat{P}C = B\hat{O}C$, porque son ángulos inscriptos al mismo arco en la misma circunferencia (la roja). Entonces $B\hat{P}C = 2B\hat{A}C$.
Veamos esta imagen: Supongamos que tenemos la circunferencia azul de centro $O$ con los puntos $A$, $B$ y $C$ en ella.
Sabemos que $B\hat{O}C = 2B\hat{A}C$.
Si $B\hat{A}C = 90^\circ$ entonces $B\hat{O}C = 180^\circ$, es decir, $B$, $C$ y $O$ están alineados, y por lo tanto cualquier punto sobre $BC$ cumple lo pedido.
Ahora supongamos que $B\hat{A}C \neq 90^\circ$, y por ende $B$, $C$ y $O$ no están alineados. Marquemos la circunferencia roja que pasa por los puntos $O$, $B$ y $C$ (existe porque no están alineados). Tomemos un punto $P$ cualquiera en el arco rojo $BC$ que contiene a $O$. Nos queda que $B\hat{P}C = B\hat{O}C$, porque son ángulos inscriptos al mismo arco en la misma circunferencia (la roja). Entonces $B\hat{P}C = 2B\hat{A}C$.
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Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]
Re: Ángulos en una circunferencia
Interesante. Por ejemplo entonces, si llamamos [math] al centro de la circunferencia en rojo y por [math], [math] y [math] hacemos pasar otra circunferencia y tenemos un punto [math] sobre ella, e interior a la primitiva, entonces [math]. El tema da para mas.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.