Dado un triángulo $ABC$ con $AC=\frac{AB+BC}{2}$, sea $BL$ la bisectriz del ángulo $\angle ABC$, sean $K$ y $M$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. Calcular el valor del ángulo $\angle KLM$ si se sabe que $\angle ABC=\beta$.
Sea [math]L' el punto tal que [math]AL'=AK y [math]L'C=CM. Notemos que [math]\frac{\frac{AB}{2}}{\frac{CB}{2}}=\frac{AB}{BC}, pero por el Teorema de la Bisectriz, tenemos que [math]\frac{AB}{BC}=\frac{AL}{CL}, pero hay un único punto [math]L que cumple el Teorema, entonces [math]L=L'. Entonces [math]AL=AK \Rightarrow \angle{AKL}=\angle{ALK}=\theta+\alpha, donde [math]\angle{BCA}=2\theta. Análogamente, [math]\angle{CLM}=\angle{CML}=90-\theta. Pero [math]\angle{MLK}=180-(90-\theta)-(\theta+\alpha)=90-\alpha=90-\frac{\beta}{2}
Como también [math]M es punto medio de [math]BC, [math]BM=ML=LC, y entonces [math]MLC es isósceles. Luego [math]\angle MLC=\angle LMC=x. También como [math]KM\parallel AC (por Thales), por alternos internos [math]\angle KML=x. Después por ser suplementario [math]\angle KMB={180^{\circ}}-2x.
Sabiendo que [math]2LC=BC, si reemplazamos en la primera igualdad del T. de la Bisectriz tenemos:
De la misma forma como [math]K es punto medio de [math]AB, [math]AK=KB=AL y [math]AKL es isósceles. Luego [math]\angle ALK=\angle AKL=y. Como [math]KM\parallel AC y por alternos internos [math]\angle LKM=y. Después por ser suplementario, [math]\angle BKM={180^{\circ}}-2y.
Por suma de ángulos internos en [math]BKM, haciendo la cuenta sale que [math]x+y=\frac{{180^{\circ}}+\beta}{2}. Por último como [math]\angle KLM es suplementario con [math]x e [math]y resulta que:
Hacemos [math]1=\frac{a}{a}
(uno se podria complicar un poco mas haciendo 1=b/b y llegariamos al mismo resultado) entonces,
[math]\frac{a+b}{AL}=\frac{b}{a}+\frac{a}{a}\rightarrow AL=\frac{b+a}{b+a}\cdot a
Entonces [math]AL=a; [math]CL=b, y de ahi que [math]KAL y [math]MCL son isosceles. Si [math]I es el incentro del [math]\Delta ABC luego [math]AI y [math]CI son mediatrices de [math]KL y [math]ML,respectivamente, estos 2 ultimos segmentos tienen puntos medios que llamamos [math]X, [math]Y.
Llamamos [math]\angle IAL=\alpha, luego [math]\angle ICL=90-\alpha-\frac{\beta}{2} y entonces en el [math]\Delta AIC el [math]\angle AIC=90+\frac{\beta}{2}, pero como [math]LXIY es ciclico, tenemos [math]\angle XLY= \angle KLM=90-\frac{\beta}{2}
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Entonces como [math]K y [math]M son puntos medios de los lados resulta que los triángulos [math]\Delta ALK y [math]\Delta CLM son isósceles.
Sea [math]\angle LCM=\alpha, entonces [math]\angle CLM = \angle CML = 90 - \frac{\alpha}{2}
Pero como [math]KM es base media entonces [math]KL \parallel MC \Rightarrow \angle LCM=\angle ALK=\alpha
Ademas teniendo en cuenta que [math]\Delta ALK es isosceles: [math]\angle ALK=\angle AKL=\alpha \Rightarrow \angle KAL = 180-2 \cdot \alpha
Pero como [math]KM es base media entonces [math]KL \parallel MC
Esta parte no tiene sentido. Lo último saldría de que [math]KL también es base media, entonces [math]AB=BC, lo que lleva a que [math]ABC es equilatero, un caso MUY particular.