Nacional 2013 N3 P1

[Caro - V3]

En una mesa hay 2013 naipes que tienen escritos, cada uno, un número entero distinto, desde 1 hasta 2013; todos los naipes están boca abajo (no se puede ver qué número tienen). Está permitido seleccionar cualquier conjunto de naipes y preguntar si el promedio de los números escritos en esos naipes es entero. La respuesta será verdadera.
a) Hallar todos los números que se pueden determinar con certeza mediante varias de estas preguntas.
b) Queremos dividir los naipes en grupos tales que se conozca el contenido de cada grupo aunque no se conozca el valor individual de cada naipe del grupo. (Por ejemplo, hallar un grupo de 3 cartas que contenga 1, 2 y 3, sin saber qué número tiene cada carta.) ¿Cuál es el máximo número de grupos que se puede obtener?

[3,14]

a)

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El único naipe que se puede averiguar es el 1007. Para hallarlo era:
Se seleccionan todas las cartas salvo una, con lo cual su promedio será:
[math]\frac {\frac {2013.2014}{2}-x}{2012} donde x es la carta omitida
Además:
[math]\frac {2013.2014}{2}-x\equiv 1007-x\pmod {2012}
Con la única carta que nos dirán que el promedio es entero será con x=1007, y así la hallamos.

Ahora no me acuerdo como era la demostración de que no se podían encontrar más.

[Gianni De Rico]

Después subo mi demostración de la parte a)

De momento:
b)

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Como el único número que podemos determinar con exactitud es $1007$, la mayor cantidad de grupos que se puede obtener es $1007$, y se logra con el naipe $1007$ y $1006$ pares de cartas.

Vamos a ver cómo se puede lograr esto:
Probamos todos los grupos de $1007$ cartas hasta encontrar alguno con promedio entero, y que contenga al $1007$, luego, vamos intercambiando cada carta con todas las restantes hasta que el promedio vuelva a ser entero, entonces la carta que estaba en el grupo y la que intercambiamos tienen la misma congruencia módulo $1007$. Hacemos lo mismo con $2$ cartas y encontramos todas las cartas pares e impares. Repetimos el procedimiento con $1006$ cartas y encontramos las que tienen la misma congruencia módulo $1006$, encontramos un grupo de $3$ cartas que contiene al $1$, $1007$ y $2013$, entonces conocemos el grupo $(1,2013)$, con las congruencias módulo $1007$, encontramos el par $(1006,1008)$, viendo las congruencias módulo $1006$ encontramos el par $(2,2012)$, y así siguiendo encontramos todos los pares $(k,2014-k)$. De modo que podemos encontrar $1006$ pares y el $1007$.

Nota: Si no se puede hacer un grupo sólo con el $1007$, se lo agrega a cualquier otro grupo y la respuesta es $1006$.

[Fran5]

Pobres cartas.. no llegan a ser T0