Entrenamiento Rio 2022 N1 P20

[Kechi]

Las alturas $AA_1,BB_1,CC_1$ del triángulo acutángulo $ABC$ se cortan en $H$. Sea $A_2$ el simétrico de $A$ con respecto a la recta $B_1C_1$ y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$.
a) Demostrar que los puntos $O,A_2,B_1,C$ son concíclicos.
b) Demostrar que los puntos $O,H,A_1,A_2$ son concíclicos.

[drynshock]

jojojo

Spoiler: mostrar

Sean $D \in C_1B_1$ tal que $AD \perp C_1B_1$ y $E$ en $AC$ tal que $OE \perp AC$.

geogebra-export (66).png

Notemos $A, O, A_2$ colineales.

$$\angle A_2AB_1 = \angle DA_2B_1 = \angle BAA_1 = \angle BAH = \angle OAC$$

Veamos, la primera es porque $A, D, A_2$ están alineados por simetría. La segunda porque $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC$ (pues $BC_1B_1C$ es cíclico). La tercera porque $A_1H_A$ son colineales, y la última porque $H$ y $O$ son conjugados isogonales.

Eso además prueba que $\angle OA_2B_1 = \angle OCB_1 \Rightarrow OA_2CB_1$ cíclico. Pues $OC=AO$ y $AB_1 = A_2B_1$ por radio y simetría respectivamente.

Por último, debemos probar $AO.AA_2 = AH.AA_1$ para demostrar $A_2HOA_1$ cíclico. Notar que, por ser $H,O$ conjugados isogonales, tenemos $\triangle OEA \sim \triangle HC_1A \Rightarrow \frac{AO}{AH} = \frac{AC}{2AC_1}$ (ver $AE = EC$). De donde queremos demostrar
$$\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{AC}{2AC_1} \iff \frac{AC_1}{\frac{AA_2}{2}} = \frac{AC}{AA_1} \iff \frac{AC_1}{AD} = \frac{AC}{AA_1}$$
y esto es cierto porque $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC$.

$\blacksquare$

[Kechi]

a)

Spoiler: mostrar

Primero veamos que $A$, $A_2$ y $O$ son colineales. Como $B_1C_1\perp AA_2$ por la definición de simétrico, aprovechando que $AC_1HB_1$ es cíclico (pues $\angle AB_1H=\angle HC_1A=90°$) y que $O$ y $H$ son conjugados isogonales, $$\angle BAA_2=90°-\angle B_1C_1A=90°-\angle B_1HA=\angle HAB_1=\angle BAO$$ como queríamos.

Por la simetría se cumple que $AB_1A_2$ es isósceles y comparte un ángulo no desigual con el triángulo isósceles $OCA$ ($AO=OC$ por ser $O$ circuncentro). Luego tenemos que $AB_1A_2$ y $OCA$ son semejantes.

Ahora separemos en casos según si $B_1$ y $O$ quedan en el mismo o distintos semiplanos respecto a $CA_2$ (o sea, $AA_2>AO$ o $AA_2<AO$).
Si quedan en el mismo semiplano entonces usando la semejanza que mencionamos, $\angle B_1CO=\angle OAB_1=\angle B_1A_2O$.
Si quedan en distinto semiplano, $\angle B_1CO=\angle OAB_1=\angle B_1A_2A=180°-\angle OA_2B_1$.

Ambos casos implican la conciclicidad de los puntos $O,A_2,B_1,C$. $\bigstar$

b)

Spoiler: mostrar

Notemos que $A_1CB_1H$ es cíclico porque $\angle CA_1H=\angle HB_1C=90°$. Sabiendo que $OA_2CB_1$ también lo es, por potencia de un punto: $$AH\cdot AA_1=AB_1\cdot AC=AO\cdot AA_2$$ por lo que $O,H,A_1,A_2$ son concíclicos. $\bigstar$

Dibujo:

Spoiler: mostrar

EntrenamientoRio2022N1P20.png