IMO 1966 P4

[agleidhold]

Demostrar la siguiente igualdad$$\frac{1}{\sin{2x}}+\frac{1}{\sin{4x}}+\cdots +\frac{1}{\sin{2^nx}}=\cot{x}-\cot{2^nx}$$para todo $n\in \mathbb{N}$, $x\neq \frac{\pi}{2^k}$, para todo $k\in \mathbb{N}$.

[agleidhold]

Hoy me declaro amante de la trigonometría
Y dios me perdone por

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Poner $\sin{x}$ en vez de senx porque si no $\LaTeX$ no lo toma

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Para resolver este problema solo basta con saber inducción y que
$$\cot{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$$
$$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$$
$$\cos{2x}=2\cos^2{x}-1$$
Ahora empecemos con la demostración
Para el caso base voy a usar $n=1$
$$\frac{1}{\sin{2x}}=\cot{x}-\cot{x}+\frac{1}{\sin{2x}}=\cot{x}-\frac{\cos{x}}{\sin{x}}+\frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\cot{x}-\frac{2\cos^2{x}-1}{2\cos{x}\sin{x}}=\cot{x}-\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}=\cot{x}-\cot{2x}$$
Que vemos que si cumple, así que ahora pasamos a la hipótesis inductiva. Y suponemos se cumple para un $n=k$ entonces
$$\frac{1}{\sin{2x}}+\frac{1}{\sin{4x}}+…+\frac{1}{\sin{2^kx}}=\cot{x}-\cot{2^kx}$$
Ahora solo nos falta probar que se cumple para $n=k+1$ y ya tendríamos demostrada la igualdad

$$\frac{1}{\sin{2x}}+\frac{1}{\sin{4x}}+…+\frac{1}{\sin{2^kx}}+\frac{1}{\sin{2^{k+1}x}}=\cot{x}-\cot{2^kx}+\frac{1}{\sin{2^{k+1}x}}=\cot{x}-(\cot{2^kx}-\frac{1}{\sin{(2\times2^kx)}})=\cot{x}-(\frac{\cos{2^kx}}{\sin{2^kx}}-\frac{1}{2\sin{2^kx}\cos{2^kx}})=\cot{x}-\frac{2\cos{2^kx}\cos{2^kx}-1}{2\sin{2^kx}\cos{2^kx}}=\cot{x}-\frac{\cos{(2\times 2^kx)}}{\sin{(2\times2^kx)}}=\cot{x}-\frac{\cos{2^{k+1}x}}{\sin{2^{k+1}x}}=\cot{x}-\cot{2^{k+1}x}$$
Por lo tanto
$$\frac{1}{\sin{2x}}+\frac{1}{\sin{4x}}+…\frac{1}{\sin{2^kx}}+\frac{1}{\sin{2^{k+1}x}}=\cot{x}-\cot{2^{k+1}x}\:\blacksquare$$