IGO 2014 - Nivel Avanzado - Problema 1

[drynshock]

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=90^\circ$ y $\angle ACB=30^\circ$. Sea $M_1$ el punto medio de $BC$. Sea $W$ una circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a $BC$ en $M_1$. Sea $P$ el circuncírculo de $ABC$. $W$ interseca a $AC$ en $N$ y a $P$ en $M$. Demostrar que $MN$ es perpendicular a $BC$.

[drynshock]

Le pifie en una letra del enunciado, y al minuto que lo iba a cambiar, ya lo habían cambiado

Spoiler: mostrar

Overkill, pero el que sabe sabe

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$AM$ es el eje radical de $W$ y $P$. Dado que $P$ tiene centro en $M_1$ y $W$ es tangente a $BC$ en $M_1$, entonces $MA \parallel BC$. Notar que $AN$ es diámetro de $W$, entonces $\angle AMN = 90^{\circ}$ de donde se sigue $MN \perp BC$.