IGO 2018 - Nivel Intermedio P3

[BR1]

Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente. Estas circunferencias se cortan en $A$ y $B$. La recta $O_1B$ corta por segunda vez a $\omega_2$ en $C$, y la recta $O_2A$ corta por segunda vez a $\omega_1$ en $D$. Sean $X$ el segundo punto de intersección de $AC$ con $\omega_1$, y $Y$ el segundo punto de intersección de $BD$ con $\omega_2$. Demostrar que $CX = DY$.

[drynshock]

Spoiler: mostrar

Por Reim $DB \parallel AC$

Por ángulo central $2\angle DXA = \angle DO_1A$, $2\angle BYC = \angle BO_2C$.

Luego, como $A$ es el reflejo de $B$ por $O_1O_2$ tenemos $\angle O_1BO_2 = \angle O_1AO_2 \iff \angle O_2BC = \angle O_1AD$, y por ser $O_1A = O_1D$ y $O_2B = O_2C$, entonces $\angle DO_1A = \angle BO_2C$.

Se sigue que $CXDY$ es un paralelogramo, entonces $CX = DY$

$\blacksquare$