Provincial 2007 Nivel 2 Problema 3

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Metropolitana
Demostrar que para cada entero $n\geq 4$, todo triángulo se puede cortar en $n$ triángulos isósceles (no necesariamente iguales).

Entre Ríos
Demostrar que todo triángulo se puede cortar en $4$ triángulos isósceles (no necesariamente iguales)

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Notar que si podemos dividir un triángulo en $4$ isósceles, entonces podemos tomar alguno de esos isósceles y dividirlo en $4$ más, dejando un total de $4+4-1 = 7$ triángulos. Inductivamente, si podemos dividirlo en $n$ triángulos podemos dividirlo en $n+4-1 = n+3$. Entonces necesitamos demostrar el problema para $n = 4, 5, 6$.

Supongamos que ya demostramos el caso $n = 4$. Entonces para $n = 5$, si el triángulo es $ABC$, lo único que hacemos es trazar la mediatriz de alguno de los lados (supongamos $AB$) y marcar su intersección con otro lado del triángulo, digamos $P$ (debe ser exactamente el lado, no la recta que determina), luego $APB$ es isósceles.

geogebra-export (100).png

Dado que sabemos que $\triangle PCB$ se puede dividir en $4$, entonces $ABC$ se puede dividir en $5$.
$\blacksquare$

Para $n = 6$, trazamos la altura desde alguno de los vértices, tal que esta caiga en el lado opuesto. Digamos que $P$ es el pie de la altura, y $B$ el vértice de donde se traza. Luego, sea $M$ el punto medio de $AB$, por teorema de la mediana $\triangle AMP, \triangle BMP$ son isósceles.

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Y como $\triangle PCB$ lo podemos dividir en $4$, entonces estamos.

$\blacksquare$

Ahora, el tan esperado, caso $n = 4$.

geogebra-export - 2025-01-11T181755.091.png

Hacemos lo mismo que el caso $n = 6$, solo que además le marcamos el punto medio de $BC$ y por teorema de la mediana estamos.