IGO 2018 - Nivel Intermedio - Problema 2

[drynshock]

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en el punto $P$. Se sabe que $\angle DAC = 90^{\circ}$ y $2\angle ADB = \angle ACB$. Si $\angle DBC + 2\angle ADC = 180^{\circ}$ demostrar que $2AP = BP$.

[drynshock]

Spoiler: mostrar

Sean $\angle ADB = x, \angle BDC = z, \angle DBC = y$, tenemos

\begin{cases}
y+2(x+z) = 180^{\circ} \\
\angle ACB = 2x \\
\angle CPB = 90^{\circ}-x \\
\end{cases}

La última sale por suma de interiores en $\triangle DAP$ y luego opuestos por el vértice.
De la primera $y = 180^{\circ}-2x-2z$, por suma de interiores en $\triangle CBP$:

$$90^{\circ}-x+180^{\circ}-2x-2z+2x = 180^{\circ} \iff 90^{\circ}-2z = x$$

Esto nos dice que $y = 180^{\circ}-180^{\circ}+4z-2z = 2z$ y $\angle CPB = 90^{\circ}-(90^{\circ}-2z) = 2z$, entonces $PC = BC$ y $\triangle DPA$ es semejante a "la mitad" de $\triangle PCB$, luego, si $PC = DP$ estos son congruentes y $\frac{BP}{2} = AP$.

Por suma de interiores en $\triangle ADC: \angle DCP = z = \angle PDC \iff DP = PC = DP$

$\blacksquare$