IGO 2018 - Nivel Intermedio - Problema 1

[drynshock]

En la siguiente figura hay tres rectángulos. Las longitudes de algunos segmentos están dadas.
Hallar la longitud del segmento $XY$.

IGO 2018 P1.png

[drynshock]

Jeje

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geogebra-export (99).png

Nombrando de derecha a izquierda y de abajo para arriba tenemos
$A = (-10,0)$
$C = (0, 0)$
$J = (-10, 10)$
$E = (-2, 3)$
$H = (-6,8)$

Usando complejos, el pie desde $Z$ hacia $AB$ es $\frac{(\bar{a}-\bar{b})z+(a-b)\bar{z}+\bar{a}b-\bar{b}{a}}{2(\bar{a}-\bar{b})}$. Luego, tomando $b = C$ y $a = J$: $\frac{(-10-10i)z+(-10+10i)\bar{z}}{2(-10-10i)}$. Para $z = E$

$$y = \frac{(-10-10i)(-2+3i)+(-10+10i)(-2-3i)}{2(-10-10i)} = -\frac{5}{2}(1-i)$$

Para $z = H$

$$x = \frac{(-10-10i)(-6+8i)+(-10+10i)(-6-8i)}{2(-10-10i)} = -7(1-i)$$

Luego,

$$|x-y| = \bigg|-7(1-i)+\frac{5}{2}(1-i) \bigg| = \frac{9\sqrt{2}}{2}$$

[agleidhold]

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Si ubicamos esta figura en un sistema de coordenadas cartesianas de forma tal que el punto superior más a la izquierda tenga coordenadas $(0;10)$ y el inferior más a la derecha tenga coordenadas $(10;0)$, podemos ver que la recta que incluye a $X$ e $Y$ está dada por la función $f(x)=-x+10$. Y las rectas perpendiculares por $X$ e $Y$ tendrán pendiente $1$, pero nos falta saber las ordenadas al origen. Si llamamos $g(x)$ a la que pasa por $X$, vemos que $g(4)=8$. O sea, $4+h=8\Rightarrow h=4\Rightarrow g(x)=x+4$. Donde vemos que la intersección entre $g$ y $f$ ($X$) será cuando $x+4=-x+10\Rightarrow x=3$ y vemos que $g(3)=3+4=7$ o sea que $X$ tiene coordenadas $(3;7)$
Ahora llamemos $h(x)$ a la función que determina la recta perpendicular a $f$ que pasa por $Y$, vemos que $h(8)=3\Rightarrow 8+h=3\Rightarrow h=-5\Rightarrow h(x)=x-5$. Podemos ver que la intersección entre $f$ y $h$ ($Y$) se dará cuando $x-5=-x+10\Rightarrow x=\frac{15}{2}$. Donde $h(\frac{15}{2})=\frac{15}{2}-5=\frac{5}{2}$. Donde resultan las coordenadas de $Y$, $(\frac{15}{2};\frac{5}{2})$
Y ahora $$d(X;Y)=\sqrt{(\frac{15}{2}-3)^2+(\frac{5}{2}-7)^2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$$