Se tienen $72$ pesas que pesan $1\text{ gr},2\text{ gr},3\text{ gr},\ldots ,72\text{ gr}$ (todos los pesos enteros desde $1$ hasta $72$ gramos). Distribuir las $72$ pesas en tres grupos de modo tal que los tres grupos sean de igual peso.
Aclaración: Los grupos pueden tener distintas cantidades de pesas.
Sea la suma de todos los pesos $73*36=2628$ cada conjunto de pesas deberá pesar $\frac {2628}{3} =876$, ahora simplemente hay que empezar desde cualquier número e irle sumando otros hasta igualar al 876, dado que, si empiezo por el 72, esta suma se complica aplicarla, empiezo por el 71, esto es redundante. Logramos la sucesión 71, 70, 69, 68, 67, 66, 65, 64, 63, 62, 61, 60, 43, 44, 3; ahora hacemos lo mismo, pero empezando desde 10, queda entonces la sucesión desde 10 hasta 42 +9+8+7+5, por descartes, las pesas que quedan deberán sumar 876.
Última edición por Jano Ochoa Questa el Dom 06 Jul, 2025 7:13 am, editado 1 vez en total.
Así es, todos los ceros no triviales de la función zeta tienen 1/2 en su parte real y punto.
Sea la suma de todos los pesos $72*36=2592$ cada conjunto de pesas deberá pesar $\frac {2592}{3}=864$, ahora simplemente hay que empezar desde cualquier número e irle sumando otros hasta igualar al 864, aunque recomendablemente empiezo por el 72, esto es redundante. Logramos la sucesión 72, 71, 70, 69, 68, 67, 66, 65, 64, 63, 62, 61, 60, 6; ahora hacemos lo mismo, pero empezando desde 10, queda entonces la sucesión desde 10 hasta 42 +1+2+3, por descartes, las pesas que quedan deberán sumar 864.
La fórmula de la suma de Gauss dice que la suma de todos los números desde $1$ hasta $n$ es igual a:
$$
\frac{n(n+1)}{2}.
$$
Por lo tanto, tomando $n = 72$, la suma desde $1$ hasta $72$ es:
$$
\sum_{n=1}^{72} n = \frac{72 \cdot 73}{2} = 2628
$$Entonces, cada conjunto deberá pesar $\frac{2628}{3} = 876$.
Ya se conoce que cada grupo tiene que pesar $876$ y para hacer la distribucion de la forma mas sencilla es prudente colocar las pesas mas livianas en un grupo y las mas pesadas en otro grupo y luego ir modificando la distribucion de acuerdo a lo que necesitemos ya que no importa la cantidad de pesas en cada grupo (el tercer grupo ya se formara automaticamente con las pesas restantes). De esta forma podemos hacer las cuentas de forma rapida usando la suma de Gauss: $1+2+3+...+n=n*(n+1)/2$ y $k+(k+1)+...+n=(1+2+3+...+n)-(1+2+3+...+(k-1))=(n*(n+1)-(k-1)*k)/2$.
Empezamos con el grupo de las livianas: si sumamos los primeros $42$ numeros, nos excedemos $42*43/2=903$. Si sumamos los primeros $41$ numeros el resultado seria $41*42/2=861$, por lo que nos faltarian $15$ para llegar a $876$, pero no podemos llegar porque ya tenemos en el grupo todas las pesas de $1$ a $15$ gramos. Entonces, si nos quedamos con los primeros $40$ numeros tenemos $40*41/2=820$, por lo que nos faltarian $56$, por lo tanto agregamos la pesa de $56$ al grupo.
Con el segundo grupo, lo mas sencillo es que al ser las mas pesadas, entonces nos excederemos en el peso y luego reemplazamos la mas pesada por otra mas liviana. Para ello necesitamos tener las pesas de la $59$ a la $72$, pues es la minima cantidad de pesas que sobrepasan $876$. $59+60+...+72=(72*73-58*59)/2=917$. Entonces nos sobran $41$ gramos, por lo que reemplazamos la pesa de $72$ por la de $31$ que pesa $41$ gramos menos y mandamos la pesa de $72$ gramos al primer grupo.
Ahora el primer grupo que antes pesaba $876$ pesa ahora $41$ gramos mas, por lo que hay que quitarle este peso para que vuelva a quedar en $876$; podemos quitar por ejemplo la pesa de $1$ gramo y la de $40$ gramos. Entonces estas dos pesas irian al tercer grupo junto a todas las restantes.
Entonces los grupos resultantes son:
Grupo $1$: las pesas desde $2$ gramos hasta $39$ gramos (excepto la de $31$ gramos), la pesa de $56$ gramos y la de $72$ gramos.
Grupo $2$: las pesas desde $59$ hasta $71$ gramos y la de $31$ gramos.
Grupo $3$: las pesas desde $40$ gramos hasta $58$ gramos (excepto la de $56$ gramos) y la pesa de $1$ gramo.
agleidhold escribió: ↑Jue 03 Jul, 2025 6:33 pm
Se tienen $72$ pesas que pesan $1\text{ gr},2\text{ gr},3\text{ gr},\ldots ,72\text{ gr}$ (todos los pesos enteros desde $1$ hasta $72$ gramos). Distribuir las $72$ pesas en tres grupos de modo tal que los tres grupos sean de igual peso.
Aclaración: Los grupos pueden tener distintas cantidades de pesas.
Un spin off del problema pero mas dificil cuales son todos los numeros como el $72$ que se puede hacer esto?
Notamos primero que los números del $1$ al $n$ suman $\frac{n(n+1)}{2}$ (como ya dijeron, esto se denomina Suma de Gauss), de modo que si un número $n$ cumple la condición de que los números del $1$ al $n$ se pueden dividir en tres grupos de igual suma entonces o bien $n$ debe ser múltiplo de $3$ o bien $n+1$ debe ser múltiplo de $3$. Esto nos dice que $n$ solamente puede tener resto $0$, $2$, $3$ o $5$ en la división por $6$ (ver Congruencias para mas información). Ahora queda ver cuáles de estos números funcionan.
Notemos primero que el $6$ funciona, pues $1+6=2+5=3+4=7$. Esto nos dice que si un número $n$ funciona entonces $n+6$ también funciona (porque dividimos los números del $1$ al $n$ en tres grupos con la misma suma y después agregamos $n+1$ y $n+6$ al primer grupo, $n+2$ y $n+5$ al segundo grupo, y $n+3$ y $n+4$ al tercer grupo). Luego, solamente tenemos que ver cuál es el menor número con cada uno de los restos posibles que funciona.
Con resto $0$:
Ya vimos que el $6$ funciona, así que funcionan todos los números positivos que tengan resto $0$ en la división por $6$, es decir, todos los de la forma $6k$, con $k\in \mathbb{N}$.
Con resto $2$:
Claramente el $2$ no funciona (no podemos armar tres grupos con dos números). Vemos que el $8$ funciona porque $1+5+6=2+3+7=4+8=12$, así que funcionan todos los números que tengan resto $2$ en la división por $6$ y sean mayores o iguales que $8$, es decir, todos los de la forma $6k+2$, con $k\in \mathbb{N}$.
Con resto $3$:
Claramente el $3$ no funciona (cada grupo va a tener a uno de los números $1$, $2$ y $3$). Vemos que el $9$ funciona porque $1+5+9=2+6+7=3+4+8=15$, así que funcionan todos los números que tengan resto $3$ en la división por $6$ y sean mayores o iguales que $9$, es decir, todos los de la forma $6k+3$, con $k\in \mathbb{N}$.
Con resto $5$:
Vemos que el $5$ funciona porque $1+4=2+3=5$, así que funcionan todos los números positivos que tengan resto $5$ en la división por $6$, es decir, todos los de la forma $6k-1$, con $k\in \mathbb{N}$.
En resumen, los números que cumplen lo pedido son los de la forma $6k-1$, $6k$, $6k+2$ o $6k+3$, con $k\in \mathbb{N}$, y estamos.
Gianni De Rico escribió: ↑Mar 08 Jul, 2025 1:04 am
Me gustó la generalización de arriba, así que vamos a resolverla
Gracias y excelente enfoque... super claro...
Ver que dicho enfoque sirve para todavía generalizar aun mas en el caso de dividir en $k$ partes (Ej con $3$ )
