Propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo

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Ivan

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Propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 10 Ago, 2012 8:41 pm

Esta propiedad es muy útil:

Si [math] es un triángulo rectángulo, con [math] y [math] es el punto medio de [math] entonces [math].



Demostración: Pensemos al triángulo [math] como la mitad de un rectángulo [math]:
Imagen
rectangulo.png

Las diagonales de un rectángulo son iguales y se cortan en su punto medio. Entonces tenemos que [math]

Otras formas de enunciar esta propiedad:
  • En un triángulo rectángulo, la distancia del vértice del ángulo recto al punto medio de la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.
  • El circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa.
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Turko Arias

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Re: Propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 17 Ago, 2012 4:20 pm

Un problema muy lindo que sale con esto es el problema 3 de nivel 2 del provincial de 2007.
http://www.oma.org.ar/nacional/enunc%20-%20metro-07.htm
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Agusanso

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Re: Propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo

Mensaje sin leer por Agusanso » Lun 08 Oct, 2012 5:47 pm

Aguante el paco vieja

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Caro - V3

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Re: Propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mar 19 Mar, 2013 9:45 pm

Vamos a expandir esto un poco...

Sea [math] un triángulo, [math] un punto sobre el lado [math].
1) Si [math] y [math] entonces [math].
2) Si [math] y [math] entonces [math] es punto medio de [math].
3) Si [math] y [math] entonces [math] es punto medio de [math].
(es decir, con sólo dos segmentos iguales nos alcanza para decir que el otro también lo es)
4) Si [math] entonces [math].



Demostraciones:

1) Ya la hizo Iván.

2)
[math] porque [math].
[math] (porque estamos en un triángulo rectángulo)
[math]
Entonces [math]. Por lo tanto [math], y [math] resulta punto medio de [math].

3) Análoga a (2).
Prop02.png
4)
Prop01.jpg
[math] porque [math].
[math] porque [math].
Por ser la suma de ángulos interiores de un triángulo: [math]
Entonces [math].
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Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Caro - V3

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Re: Propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mar 19 Mar, 2013 11:08 pm

Ah un detalle: podemos demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan jugando un poco con áreas de triángulos.
Entonces esta propiedad (la de la mediana de un triángulo rectángulo) se vuelve bastante elemental, en el sentido que no hay que saber casi nada para poder probarla. Y además es muy útil: se usa desde intercolegiales de nivel 1 hasta olimpíadas internacionales.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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