Tramposética (Punto Fantasma)

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Prillo

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Tramposética (Punto Fantasma)

Mensaje sin leer por Prillo » Vie 18 Ene, 2013 3:22 pm

La tramposética (o método del punto fantasma) es una herramienta lógica. Funciona de la siguiente manera: Supongamos que tenemos un punto [math] que sabemos cumple cierta propiedad [math], y nos gustaría probar que [math] también cumple otra propiedad [math]. Supongamos que sabemos que hay un único punto [math] que cumple la propiedad [math], y que hay un único punto [math] que cumple la propiedad [math]. Entonces para probar que [math] cumple la propiedad [math], podemos en cambio probar que [math] cumple la propiedad [math]. En tal caso, como hay un único punto que cumple la propiedad [math], si [math] cumple la propiedad [math] concluímos que [math], y en particular deducimos que [math] cumple la propiedad [math].

Esta herramienta es muy útil no solo porque nos permite demostrar propiedades, sino fundamentalmente porque nos permite enunciar muchos problemas de geometría en una forma distinta que nos sea más cómoda. A continuación damos dos ejemplos. En el primero resolvemos el problema con tramposética, y en el segundo usamos la tramposética para reenunciar el problema en una forma más agradable. Recomendamos fuértemente pensar el problema del primer ejemplo antes de leer su solución.

Problema. Sea [math] un cuadrado, y sea [math] un punto en su interior tal que [math]. Demostrar que [math] es un triángulo equilátero.

Primera Solución. Esta es una solución SIN tramposética. La damos para luego contrastarla con la solución con traposética. Sean [math] y [math] dentro del cuadrado tal que [math] y [math]. Entonces los triángulos [math] y [math] son congruentes por lo cual [math]. Como [math], entonces el triángulo [math] es equilátero, y lo mismo sucede para el triángulo [math]. Ahora, el triángulo isósceles [math] tiene [math] y por lo tanto es congruente al triángulo [math], de donde [math]. De la misma manera, el triángulo [math] es congruente al triángulo [math] y [math], por lo cual [math] y el triángulo [math] es equilátero, como queríamos demostrar.

Segunda Solución. Ahora sí, con tramposética. Sea [math] el punto en el interior del cuadrado tal que el triángulo [math] es equilátero. Probaremos que [math], en cuyo caso habremos terminado. Como [math], el triángulo [math] es isósceles. Como [math], luego [math] y [math]. De manera análoga en el triángulo [math] obtenemos que [math]. Pero entonces, como el punto [math] tiene la misma propiedad que [math], tiene que ser [math]. Se sigue que el triángulo [math] es equilátero.

Las soluciones hablan por sí solas. La primera es más rebuscada y requiere definir dos puntos sacados de una galera. La segunda, en cambio, se basa simplemente en los principios de la tramposética, y no requiere definir ningún punto adicional. Lo más importante es notar que la tramposética es una herramienta lógica, y no una herramienta geométrica.

Para terminar, mostramos un ejemplo típico de aplicación en donde reformulamos un problema en forma más accesible. Me remonto al Problema [math] de la IMO del [math], un problema difícil. No lo voy a resolver, simplemente voy a mostrar el primer paso de la solución, que es reenunciar el problema para que sea más fácil de resolver.

Enunciado. Sea [math] un triángulo, [math] su incentro y [math] su circunferencia circunscrita. La recta [math] corta de nuevo a [math] en [math]. Sea [math] un punto en el arco [math] de [math] que no contiene a [math], y sea [math] un punto en el lado [math] tales que [math]. Sea [math] el punto medio del segmento [math]. Demuestre que las rectas [math] y [math] se cortan sobre [math].

Reenunciación. Sea [math] un triángulo, [math] su incentro y [math] su circunferencia circunscrita. La recta [math] corta de nuevo a [math] en [math]. Sea [math] un punto en el arco [math] de [math] que no contiene a [math], y sea [math] un punto en el lado [math] tales que [math]. La recta [math] corta a [math] por segunda vez en [math], y la recta [math] corta a [math] en [math]. Probar que [math] es el punto medio del segmento [math].

Pasamos de querer probar que dos rectas se cortan sobre una circunferencia a querer probar que un punto es punto medio de un segmento. Esto último es mucho más simple. Sin embargo, por tramposética, es claro que los dos problemas son equivalentes. Es decir, si resolvemos el problema nuevo quedará resuelto el primero.

Ejercicio. (Problema 5 del selectivo de IMO de 1997) Sea [math] un pentágono regular y [math] un punto interior tal que [math] y [math]. Hallar [math].

Pueden encontrar la solución a este problema acá.
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El Geek
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Re: Tramposética

Mensaje sin leer por El Geek » Jue 21 Feb, 2013 4:32 am

Hola Prillo, me salta una duda: ¿Qué otro nombre recibe la tramposética? pues puse "tramposética" en google y sólo me apareció omaforos como resultado del único lugar en la web donde se usa esa palabra. Me ha llamado la atención pues ha sido más de alguna vez en la que la he usado intuitivamente.

Saludos!

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Ivan

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Re: Tramposética

Mensaje sin leer por Ivan » Jue 21 Feb, 2013 2:39 pm

Por lo que sé, tramposética es una palabra acuñada por un exolímpico hace unos cuantos años. En Argentina su significado se fue pasando de generación en generación y ya es parte del folklore de la OMA.
La técnica es válida y muy útil, pero en una prueba no recomiendo escribir la frase "Por tramposética,...". Siempre conviene explicar que es lo que uno está haciendo, como en el ejemplo de Prillo:
Prillo escribió:Sea [math] el punto en el interior del cuadrado tal que el triángulo [math] es equilátero. Probaremos que [math], en cuyo caso habremos terminado. Como [math], el triángulo [math] es isósceles. Como [math], luego [math] y [math]. De manera análoga en el triángulo [math] obtenemos que [math]. Pero entonces, como el punto [math] tiene la misma propiedad que [math], tiene que ser [math]. Se sigue que el triángulo [math] es equilátero.
(notar que en ningún lado dijo la palabra mágica :P)
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Re: Tramposética

Mensaje sin leer por El Geek » Vie 22 Feb, 2013 12:54 am

Pues claro, en mi post mencioné que anteriormente ya he hecho uso de aquello (y bueno, que también he visto). Solo que me había llamado la atención el hecho de que recibiera un nombre, pero esa ya quedó listo con tu post.

Saludos Ivan

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Prillo

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Re: Tramposética

Mensaje sin leer por Prillo » Vie 22 Feb, 2013 2:34 am

En inglés se lo conoce como el "phantom point method". Traducido al castellano sería "método del punto fantasma". El nombre no es casual: por "punto fantasma" se entiende al punto auxiliar [math] que uno define a su gusto y luego prueba que es igual al punto original [math]. Una vez que hecho esto, [math] desaparece para siempre: ya no lo necesitamos, pues probamos que es igual a [math]. Pero no fue en vano: [math] "absorbió" las propiedades de [math]. La existencia temporal de [math] le da su nombre de "punto fantasma".

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Re: Tramposética

Mensaje sin leer por El Geek » Vie 22 Feb, 2013 5:58 am

Ahora estoy haciendo memoria de algunas cosas, y ya la he visto en otros lugares por "Técnica del punto falso", que consiste en lo mismo que dice Prillo en su post inicial. De todas menras, gracias por el dato del nombre inglés, se aumenta el olimpivocabulario ;)

Saludos.

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Prillo

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Re: Tramposética (Punto Fantasma)

Mensaje sin leer por Prillo » Vie 22 Feb, 2013 11:01 am

Edité el nombre del tema para incluir entre paréntesis "Punto Fantasma" y así no quede sólo el nombre no-declarativo "Tramposética". Además hace al título más marketinero. :D

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Re: Tramposética (Punto Fantasma)

Mensaje sin leer por El Geek » Lun 25 Feb, 2013 12:56 am

Por casualidad tenía un video en el computador que usaba esta técnica, asi que dada la situación decidí subirlo (vean mi vestimenta, y es la misma que salgo usando en videos subidos en Diciembre, estuve flojo en vacaciones). Lástima que no me veo sensual en él, jajaja.

Para continuar con el aporte, si alguien desea un propuesto más, aquí les dejo el de mi video que es un hecho bastante útil:
Spoiler: mostrar
Dado un segmento no nulo, demuestre que dado un punto interior a él que lo corta en una razón dada, es único.

Video-solución: click
Saludos chicos.

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