Rioplatense 2007 - N2 P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1088
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Rioplatense 2007 - N2 P5

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sea [math] un entero positivo no divisible por [math]. Demuestre que [math] admite una representación de la forma [math] donde [math] son enteros positivos, si y sólo si [math] tiene al menos un divisor de la forma [math] para algún [math].
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Avatar de Usuario
Joe.

OFO - Medalla de Plata-OFO 2015
Mensajes: 14
Registrado: Lun 12 Nov, 2012 9:48 pm
Medallas: 1
Nivel: 2

Re: Rioplatense 2007 - N2 P5

Mensaje sin leer por Joe. »

Spoiler: mostrar
Sea [math] un numero de la forma [math],
Luego [math]
Fijemos [math] e [math]
Luego [math]
Entonces tenemos que para un numero de la forma [math] el enunciado es valido,
Ahora, veamos que pasa para los multiplos de la forma [math] de algún [math], digamos [math],
fijamos [math] e [math],
nos queda [math],
luego concluye la ida del problema, y después veo que onda la vuelta que me tengo que ir
(hasta ahora también funca con [math] múltiplo de [math] si tiene algún divisor de la forma [math]).
Imagen
Avatar de Usuario
Tob.Rod

OFO - Mención-OFO 2021 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Medalla-FOFO Pascua 2022
Mensajes: 15
Registrado: Vie 04 Dic, 2020 6:31 pm
Medallas: 3
Nivel: 2
Ubicación: Uruguay

Re: Rioplatense 2007 - N2 P5

Mensaje sin leer por Tob.Rod »

Spoiler: mostrar
Parte 1
Spoiler: mostrar
Demostremos que todo todo $n$ con un divisor de la forma $3k + 2$ cumple que $n = \frac{3xy}{x+y}$.

Lema 1. Si se puede para $n$, se puede para $nj$ con $j$ entero positivo.
Demostración:

Partiendo de $n = \frac{3xy}{x+y}$
Reemplazamos $x$ por $xj$ e $y$ por $yj$
$\frac{3xjyj}{xj+yj} = \frac{3xyj^2}{j(x+y)} = \frac{3xyj}{x+y} = \frac{3xy}{x+y} \times j = nj$

Lema 2. Se puede para todo $n$ de la forma $3k +2$
Demostración:

Utilizamos $x = (3k+2)(k+1)$ e $y = k+1$ (Para darme cuenta de esto hice casitos):

$\frac{3xy}{x+y} = \frac{3(3k+2)(k+1)(k+1)}{(3k+2)(k+1)+(k+1)} = \frac{3(3k+2)(k+1)^2}{(k+1)(3k+2+1)} = \frac{3(3k+2)(k+1)}{3k+3} = \frac{(3k+2)(k+1)}{k+1} = 3k +2$


Juntando el Lema 1 y el Lema 2, tenemos que se puede para todo $n$ múltiplo de $3k +2$, es decir, para todo $n$ con al menos un divisor de la forma $3k +2$.
Parte 2
Spoiler: mostrar
Demostremos que si $n$ cumple que $n = \frac{3xy}{x+y}$, entonces tiene algún divisor de la forma $3k + 2$

Si $n$ es múltiplo de un primo $p$ (distinto de $3$), y tenemos que:
$n = \frac{3xy}{x+y}$
$3xy$ debe ser múltiplo de $p$, y como $p$ es primo, entonces, al menos uno de $x$ e $y$ es múltiplo de $p$. WLOG, $x = lp$ para algún $l$ entero positivo.
Sustituimos, y nos queda:
$$p = \frac{3lpy}{lp+y}$$
Despejamos $y$:
$$\frac{lp}{(3l-1)} = y$$

Como $y$ es un entero positivo, nos queda que:
$$3l - 1 | lp$$
Como $3l - 1$ es coprimo con $l$, entonces:
$$3l - 1 | p$$,
o lo que es lo mismo
$$3 (l-1) + 2 | p$$
es decir que $p$ es de la forma $3k + 2$.
Por lo tanto, llegamos a que $n$ debe tener al menos un divisor primo $p$ de la forma $3k+2$.
Solución Final
Spoiler: mostrar
Uniendo la Parte 1 y la Parte 2, llegamos a que todo $n$ con algún divisor de la forma $3k +2$ cumple, y todo $n$ que cumple tiene algún divisor de la forma $3k+2$, o lo que es lo mismo, podemos decir que:
Un $n$ entero positivo no múltiplo de $3$ admite una representación de la forma $n = \frac{3xy}{x+y}$ si y sólo si $n$ tiene al menos un divisor de la forma $3k+2$, QED.
1  
Responder