Sean $ABCD$ un rectángulo de lados $AB=CD=37$ y $BC=DA=10$, y $P$ el punto del lado $AB$ tal que $AP=13$. La paralela a $PC$ trazada por $A$ interseca al lado $CD$ en $R$. Sean $Q$ en $PC$ y $S$ en $AR$ tales que el cuadrilátero $PQRS$ es un rectángulo. Hallar el área de $PQRS$.
Vemos que [math]ARD y [math]CPB son semejantes, pues tienen [math]A\widehat{R}D=C\widehat{P}B y [math]R\widehat{A}D=P\widehat{C}B.
Además [math]\widehat{D}=\widehat{B}=90^{\circ}
Más aún, como [math]AD=BC, las hipotenusas [math]AR y [math]PC son congruentes.
De ésto, resulta que [math]APCR es un paralelogramo, con [math]PC=AR y [math]AP=CR
Siguiendo, se observa que los triángulos [math]APS y [math]CRQ son semejantes, pues tienen [math]A\widehat{P}S=C\widehat{R}Q y [math]S\widehat{A}P=P\widehat{C}B.
Además [math]\widehat{S}=\widehat{Q}=90^{\circ}
Más aún, como [math]AS=QR, los triángulos son congruentes
También se tiene que [math]APS es semejante a [math]PBC, pues [math]S\widehat{A}P=C\widehat{P}B y [math]\widehat{S}=\widehat{B}=90^{\circ}
Entonces, [math]\frac{AP}{PC}=\frac{SP}{BP}
Por ser $AB = 37$ y $AP = 13$ $\Rightarrow$ $PB = 24$, por ser $CB = 10$, en el triángulo $PBC$ por Pitágoras sale que $PC = 26$.
Por razones trigonométricas en $PBC$, se tiene que $C\widehat{P}B$ = $22,61986495°$, de donde $P\widehat{C}B$ = $67,38013505°$.
Veamos que por ser un rectángulo $PQRS$, implica que cada uno de sus ángulos mide $90°$. Veamos que por ángulo llano($180°$), se tiene que $A\widehat{P}S$ = $P\widehat{C}B$ = $67,38013505°$. Por la suma de los ángulos interiores de todo triángulo ($180°$), se tiene que $S\widehat{A}P$ = $22,61986495°$, por razones trigonométricas en $SAP$, se tiene $SP = 5$ y que $SA = 12$.
Es fácil ver qué $RQC$ $≅$ $SAP$, ya que por ser $ARCP$ un paralelogramo ($AP \parallel RC$, ya que ambos pertenecen a los lados opuestos de un rectángulo) se tiene que $A\widehat{R}C$ = $C\widehat{P}B$, por ser $A\widehat{P}C$ = $A\widehat{P}S$ + $90°$ y $A\widehat{R}C$ = $C\widehat{R}Q$ + $90°$ $\Rightarrow$ $A\widehat{P}S$ = $C\widehat{R}Q$, de donde se sigue que ambos tienen ángulos iguales y por compartir lado del rectángulo se tiene que son congruentes de donde sale que $QC$ = $12$, por ser $PC = 26$ $\Rightarrow$ $PQ = 14$. Por último el área del rectángulo $PQRS$ = $5 . 14$ = $70$.
