Teorema Chicken McNuggets
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Vladislao
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Teorema Chicken McNuggets
Teorema
Sean [math] y [math] enteros positivos coprimos entre sí. Consideremos para cada [math] natural la ecuación [math], donde [math] e [math] son enteros no negativos. Entonces, el mayor [math] tal que no existen [math] e [math] no negativos verificando dicha igualdad, es [math].
Corolario: La cantidad de números [math] que no se pueden escribir como suma de múltiplos positivos de [math] y [math] es [math].
Demostración:
Sean [math] y [math] enteros positivos coprimos entre sí. Consideremos para cada [math] natural la ecuación [math], donde [math] e [math] son enteros no negativos. Entonces, el mayor [math] tal que no existen [math] e [math] no negativos verificando dicha igualdad, es [math].
Corolario: La cantidad de números [math] que no se pueden escribir como suma de múltiplos positivos de [math] y [math] es [math].
Demostración:
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
- CarlPaul_153
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Re: Teorema Chicken McNugget
Este lo saqué de los apuntes generales de Martín (Muchas gracias de paso, me sirvió mucho):
Problema 13: Decidir si es posible armar un rectángulo de [math] sin huecos
ni superposiciones, usando exclusivamente piezas rectangulares de [math]. ¿Y si
el rectangulo que se quiere armar es de [math]? ¿Y si es de [math]? En cada
caso, si la respuesta es afirmativa, dar un ejemplo y en caso contrario, explicar
por que.
ACLARACIÓN: En todos los casos está permitido girar las piezas
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Re: Teorema Chicken McNugget
Este teorema dice que a partir de cierto punto todos los números se pueden expresar como [math] con [math] e [math] enteros no negativos, pero no significa que ninguno de los números menores se pueda expresar de esa forma.CarlPaul_153 escribió:Por Teorema Chicken McNugget [math]
Ejemplo con [math] y [math]:
Queremos encontrar el mayor [math] que no se puede expresar como [math] con [math] e [math] enteros no negativos.
El teorema nos dice que este es el número [math].
Veamos qué pasa para los naturales menores a [math]:
- [math] no se puede.
- [math]. Por lo tanto [math] se puede expresar como [math] con [math] e [math] enteros no negativos.
- [math] no se puede.
- [math]. Por lo tanto [math] se puede expresar como [math] con [math] e [math] enteros no negativos.
- [math] no se puede.
- [math]. Por lo tanto [math] se puede expresar como [math] con [math] e [math] enteros no negativos.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]
- CarlPaul_153
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Re: Teorema Chicken McNugget
tienes razón, me había dado cuenta e incluso antes de resolver el problema verifiqué que no se podía con 39, pero se me chispoteó. Lo más que puede hacer este teorema en este problema es asegurarte que vas a encontrar valores no negativos para las ecuaciones con n>39.Este teorema dice que a partir de cierto punto todos los números se pueden expresar como [math] con [math] e [math] enteros no negativos, pero no significa que ninguno de los números menores se pueda expresar de esa forma.
Uno mas facil:
solución 1 solución 2 Petición: Este ejercicio, en la pagina que lo encontre, pedía ser resuelto por inducción, pero no se me ocurre como plantearlo, asi que agradecería mucho si alguien me explica como es.En el país de los gnomos existen solo monedas de 7 gnomo pesos y 30 gnomo pesos, el objeto más barato en el mundo cuesta 2000 gnomo pesos. Demostrar que cualquier objeto puede ser comprado con dichas monedas.
Nota: Pense que el nombre de el teorema era un chiste, pero buscando en internet, me cercioré de que es verdadero. Inclusive está el Teorema del Sandwich, el Teorema de la Pizza xD. http://eliatron.blogspot.com.ar/2013/10 ... ocina.html
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Re: Teorema Chicken McNugget
Nahhhh, en OMA es el Teorema de Pico, no porque lo inventé yo sino porque en un nacional en segundo nivel, en la corrección de problemas pasé a explicar uno y use ese teorema jaj.
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Re: Teorema Chicken McNuggets
La demostración es facil. si k es entero positivo, k=x*a+y*b (probar que se pueden elegir x,y tales que x>(-b) e y>(-a) ).
entre x e y tiene que haber al menos un positivo (caso contrario x*a+y*b es "no positivo" al igual que el voto de un traidor)
si x es positivo, ab-a-b+k=(x-1)*a+(y+a-1)*b donde x-1 e y+a-1 son no negativos.
si y es positivo, ab-a-b+k=(x+b-1)*a+(y-1)*b donde x+b-1 e y-1 son no negativos.
entre x e y tiene que haber al menos un positivo (caso contrario x*a+y*b es "no positivo" al igual que el voto de un traidor)
si x es positivo, ab-a-b+k=(x-1)*a+(y+a-1)*b donde x-1 e y+a-1 son no negativos.
si y es positivo, ab-a-b+k=(x+b-1)*a+(y-1)*b donde x+b-1 e y-1 son no negativos.
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Vladislao
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Re: Teorema Chicken McNuggets
En el post original la idea es exactamente esa. Los pasos están hechos con mucho detalle (incluso probando resultados más fuertes como la unicidad de esos [math] e [math] que vos marcaste -que es lo que usás después para hallar la cantidad de números buenos-).usuario250 escribió:La demostración es facil. si k es entero positivo, k=x*a+y*b (probar que se pueden elegir x,y tales que x>(-b) e y>(-a) ).
entre x e y tiene que haber al menos un positivo (caso contrario x*a+y*b es "no positivo" al igual que el voto de un traidor)
si x es positivo, ab-a-b+k=(x-1)*a+(y+a-1)*b donde x-1 e y+a-1 son no negativos.
si y es positivo, ab-a-b+k=(x+b-1)*a+(y-1)*b donde x+b-1 e y-1 son no negativos.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Re: Teorema Chicken McNuggets
No sabía que estaba la demostración en el post oficial. después lo vi.
Re: Teorema Chicken McNuggets
En cambio Bulu ese si que es afin (del verbo afanar) con Barbie.usuario250 escribió: es "no positivo" al igual que el voto de un traidor
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
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julianferres_
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Re: Teorema Chicken McNuggets
En realidad te queda [math] y tambien es facil ver que no se puedeVladislao escribió: Como [math], tomando módulo [math], resulta que [math], de donde sólo puede ser [math]. Pero si [math], entonces [math] de donde [math], y por lo tanto [math], pero [math] y [math] eran negativos, absurdo.