En particular, buscamos que [math]a^2+b^2+c^2+10a+12b+14c = 15
Luego, si queremos minimizar [math]a+b+c manteniendo (1), es trivial que debemos agrandar sólo [math]c
En efecto, dada la simetría de [math]a^2+b^2+c^2, hay que considerar sólo [math]10a+12b+14c que tiene mínimo [math]a+b+c cuando [math]a=b=0
[math]x[math]=[math]5[math]+[math]a, con [math]1[math]>[math]a[math]>[math]=[math]0 [math]y[math]=[math]6[math]+[math]b, con [math]1[math]>[math]b[math]>=[math]0 [math]z[math]=[math]7[math]+[math]c, con [math]1[math]>[math]c[math]>=[math]0
Además [math]a[math]+[math]b[math]+[math]c[math]<[math]1
Supongamos que [math]x=5+a, [math]y=6+b y [math]z=7+c, donde [math]a,b,c\geq 0. Entonces, la condición [math]x^2+y^2+z^2\geq 125 se traduce en:
[math](5+a)^2+(6+b)^2+(7+c)^2\geq 125
la cual, tras expandir los cuadrados y simplificar, se reduce a:
[math]a^2+b^2+c^2 + 10a+12b+14c\geq 15
Notando que [math](a+b+c)^2 \geq a^2+b^2+c^2, resulta que [math](a+b+c)^2+10a+12b+14c\geq 15 y además, [math]10a+12b+14c=14(a+b+c)-(4a+2b)\leq 14(a+b+c). Por lo tanto, resulta que: [math](a+b+c)^2+14(a+b+c)\geq 15. Renombrando [math]a+b+c=t, resulta que [math]t^2+14t-15\geq 0, lo cual vale sólo para [math]t\geq 1. Es decir, [math]a+b+c\geq 1. Por lo tanto, el mínimo de [math]a+b+c es [math]1, y el de [math]x+y+z es [math]5+6+7+1=19. Un ejemplo es [math]x=5, [math]y=6, [math]z=8 (el cual es único y se obtiene forzando igualdad en nuestras desigualdades).
Sea [math]\theta = 1,3063778838... Para todo entero positivo [math]k se cumple que [math]\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor es un número primo.
Es facil ver que [math](5;6;8) es solución con [math]x+y+z=19 tenemos que probar que es el valor mínimo.
Tenemos que [math]x=5+a, [math]y=6+b y [math]z=7+c, con [math]a,b,c\geq 0. Entonces, si reemplazamos en la condición dada queda: [math](5+a)^2+(6+b)^2+(7+c)^2\geq 125 [math]a^2+b^2+c^2 + 10a+12b+14c\geq 15
Existe un ejemplo con $x=5$, $y=6$, $z=8$ y $x+y+z=19$. Supongamos que existe un menor valor para $x+y+z$, entonces $x=5+a$, $y=6+b$, $z=7+c$, con $0\leq a+b+c<1\Rightarrow (a+b+c)^2<1$. Además, es claro que $(a+b+c)^2\geq a^2+b^2+c^2$.
Como $10a=14a-4a$ y $12b=14b-2b$, se tiene $10a+12b+14c=14a+14b+14c-4a-2b=14(a+b+c)-4a-2b\leq 14(a+b+c)$ (2).
De (1) y (2) sale que $(a+b+c)^2+14(a+b+c)\geq 15$, pero $a+b+c<1\Rightarrow 14(a+b+c)<14\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 15-14(a+b+c)>1\Rightarrow (a+b+c)^2>1$.
Absurdo, porque habíamos dicho que $(a+b+c)^2<1$. El absurdo provino de suponer que $a+b+c<1$, por lo tanto $a+b+c\geq 1$, como queremos el mínimo, $a+b+c=1$. Poniendo $a=b=0$, $c=1$ formamos nuestro ejemplo original y el problema queda resuelto.
Dado que $a, b, c \geq 0$, entonces podemos sumar $2(ab+ac+bc + 4a + 2b)$ al lado izquierdo, esto con el objetivo de obtener una expresión que dependa de $a+b+c$.
Y como $\lambda = a+b+c \geq 0$ entonces se cumple la segunda desigualdad, es decir que $a+b+c \geq 1$ Por lo tanto, el menor valor que puede alcanzar $x+y+z = a+5+b+6+c+7 = 1+5+6+7 = 19$ y el ejemplo es $(x, y, z) = (5, 6, 8)$ donde $5^2+6^2+8^2 = 125 \geq 125$.
Es medio molesto las condiciones como nos las dan, así que sean $a = x - 5$, $b = y - 6$ y $c = z - 7$ con $a, b, c \geq 0$, sabemos que$$
(a + 5)^2 + (b + 6)^2 + (c + 7)^2 \geq 125 \\ \Leftrightarrow a^2 + 10a + 25 + b^2 + 12b + 36 + c^2 + 14c + 49 \geq 125 \\ \Leftrightarrow a^2 + 10a + b^2 + 12b + c^2 + 14c \geq 15
$$ Notemos que se puede expresar el mínimo de $x + y + z$ en función del mínimo de $a + b + c$
$$ a + b + c = x + y + z - 18 \\
\Rightarrow \min_{a, b, c \geq 0} (a + b + c) =\min_{a, b, c \geq 0} (x + y + z - 18) \\
\Leftrightarrow \min_{a, b, c \geq 0} (a + b + c) = \min_{x \geq 5, y \geq 6, z \geq 7} (x + y + z - 18) \\
\Leftrightarrow \min_{x \geq 5, y \geq 6, z \geq 7} (x + y + z) = \min_{a, b, c \geq 0} (a + b + c) + 18
$$
Como $a$, $b$ y $c$ son positivos, entonces $$
(a + b + c)^2 + 14(a + b + c) \geq a^2 + 10a + b^2 + 12b + c^2 + 14c \Leftrightarrow (a + b + c)^2 + 14(a + b + c) \geq 15 \Rightarrow a + b + c \geq 1
$$ La igualdad se obteniene cuando $(a, b, c) = (0, 0, 1)$ ya que es cuando se cumple que $(a + b + c)^2 + 14(a + b + c) = a^2 + 10a + b^2 + 12b + c^2 + 14c$, y $1^2 + 14 \geq 15$. Por lo tanto, $$
\min_{a, b, c \geq 0} (a + b + c) = 1 \Leftrightarrow \min_{x \geq 5, y \geq 6, z \geq 7} (x + y + z) = 19
$$ Ya que efectivamente $5^2 + 6^2 + 8^2 \geq 125$. $\blacksquare$