Nacional 2013 N3 P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Ivan

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Nacional 2013 N3 P4

Mensaje sin leer por Ivan »

Sean [math], [math], [math] y [math]. Hallar el mínimo de [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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Fran5

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Re: Nacional 2013 N3 P4

Mensaje sin leer por Fran5 »

Lo lindo de este problema es buscar como demostrar que es el minimo xD me encanto
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Reescribimos el enunciado como

Sea [math]. Sean [math]

Si [math]. Hallar el mínimo de [math].

Es claro que el problema es el mismo.


Ahora, desplegando cada binomio, se tiene

[math]
[math]
[math]

En particular, buscamos que
[math]

Luego, si queremos minimizar [math] manteniendo (1), es trivial que debemos agrandar sólo [math]
En efecto, dada la simetría de [math], hay que considerar sólo [math] que tiene mínimo [math] cuando [math]

Luego, en la ecuación inicial

[math]
[math]
[math]

Trivialmente, [math]. En particular, [math]

Por tanto, volviendo al enunciado original, el menor valor de [math] es [math]
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
LuchoLP

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Re: Nacional 2013 N3 P4

Mensaje sin leer por LuchoLP »

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Supongamos [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math]

[math] [math] [math] [math] [math], con [math] [math] [math] [math] [math] [math]
[math] [math] [math] [math] [math], con [math] [math] [math] [math] [math]
[math] [math] [math] [math] [math], con [math] [math] [math] [math] [math]

Además [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math]

[math]
[math]

Como [math] , [math] y [math] entonces: [math] (1)

Por otro lado: [math]. En particular: [math] (2)

Comparando (1) y (2) llegamos a un absurdo. Luego [math]. Con [math], [math] y [math] encontramos el ejemplo y listo.
2  
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Vladislao

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Re: Nacional 2013 N3 P4

Mensaje sin leer por Vladislao »

Dejo otra solución:
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Supongamos que [math], [math] y [math], donde [math]. Entonces, la condición [math] se traduce en:
[math]
la cual, tras expandir los cuadrados y simplificar, se reduce a:
[math]
Notando que [math], resulta que [math] y además, [math]. Por lo tanto, resulta que: [math]. Renombrando [math], resulta que [math], lo cual vale sólo para [math]. Es decir, [math]. Por lo tanto, el mínimo de [math] es [math], y el de [math] es [math]. Un ejemplo es [math], [math], [math] (el cual es único y se obtiene forzando igualdad en nuestras desigualdades).
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Johanna

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Re: Nacional 2013 N3 P4

Mensaje sin leer por Johanna »

Dejo otra solución aunque es parecida a las anteriores.
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Es facil ver que [math] es solución con [math] tenemos que probar que es el valor mínimo.
Tenemos que [math], [math] y [math], con [math]. Entonces, si reemplazamos en la condición dada queda:
[math]
[math]

Ademas [math]

Y esto implica [math]

Entonces queda:
[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

Esto es imposible ya que [math]
Entonces [math]
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2013 N3 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Existe un ejemplo con $x=5$, $y=6$, $z=8$ y $x+y+z=19$. Supongamos que existe un menor valor para $x+y+z$, entonces $x=5+a$, $y=6+b$, $z=7+c$, con $0\leq a+b+c<1\Rightarrow (a+b+c)^2<1$. Además, es claro que $(a+b+c)^2\geq a^2+b^2+c^2$.

Tenemos $(5+a)^2+(6+b)^2+(7+c)^2\geq 125$, trabajando llegamos a $a^2+b^2+c^2+10a+12b+14c\geq 15\Rightarrow (a+b+c)^2+10a+12b+14c\geq 15$ (1).

Como $10a=14a-4a$ y $12b=14b-2b$, se tiene $10a+12b+14c=14a+14b+14c-4a-2b=14(a+b+c)-4a-2b\leq 14(a+b+c)$ (2).

De (1) y (2) sale que $(a+b+c)^2+14(a+b+c)\geq 15$, pero $a+b+c<1\Rightarrow 14(a+b+c)<14\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 15-14(a+b+c)>1\Rightarrow (a+b+c)^2>1$.

Absurdo, porque habíamos dicho que $(a+b+c)^2<1$. El absurdo provino de suponer que $a+b+c<1$, por lo tanto $a+b+c\geq 1$, como queremos el mínimo, $a+b+c=1$. Poniendo $a=b=0$, $c=1$ formamos nuestro ejemplo original y el problema queda resuelto.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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drynshock

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Re: Nacional 2013 N3 P4

Mensaje sin leer por drynshock »

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La condición $x\geq 5, y \geq 6, z \geq 7$ es medio chota, así que le damos vuelta la tortilla al que hizo el problema mediante un cambio de variable.

Sea $x = a+5, y = b+6, z = c+7$, de esta manera se cumple que $a, b, c \geq 0$

Luego, reemplazando en la desigualdad:

$$(a+5)^2 + (b+6)^2 + (c+7)^2 \geq 125$$
$$a^2 +10a + 25 + b^2 +12b + 36 + c^2+14c + 49 \geq 125$$

Notemos que $a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$, luego:

$$(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc) + 10a + 12b + 14c \geq 15$$

Dado que $a, b, c \geq 0$, entonces podemos sumar $2(ab+ac+bc + 4a + 2b)$ al lado izquierdo, esto con el objetivo de obtener una expresión que dependa de $a+b+c$.

$$(a+b+c)^2 +14(a+b+c) \geq (a+b+c)^2-2(ab+ac+bc) + 10a + 12b + 14c \geq 15$$

Ahora sea $\lambda = a+b+c$, entonces debemos resolver la siguiente inecuación:

$$\lambda^2 + 14\lambda - 15 \geq 0$$
$$\lambda \leq -15 \vee \lambda \geq 1$$

Y como $\lambda = a+b+c \geq 0$ entonces se cumple la segunda desigualdad, es decir que $a+b+c \geq 1$ Por lo tanto, el menor valor que puede alcanzar $x+y+z = a+5+b+6+c+7 = 1+5+6+7 = 19$ y el ejemplo es $(x, y, z) = (5, 6, 8)$ donde $5^2+6^2+8^2 = 125 \geq 125$.

Concluimos que $\min{x+y+z} = 19$

$\blacksquare$
@Bauti.md ig
Winning is first place, anything else is losing.
"Alexandra Trusova"
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biank
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Re: Nacional 2013 N3 P4

Mensaje sin leer por biank »

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Es medio molesto las condiciones como nos las dan, así que sean $a = x - 5$, $b = y - 6$ y $c = z - 7$ con $a, b, c \geq 0$, sabemos que$$
(a + 5)^2 + (b + 6)^2 + (c + 7)^2 \geq 125 \\ \Leftrightarrow a^2 + 10a + 25 + b^2 + 12b + 36 + c^2 + 14c + 49 \geq 125 \\ \Leftrightarrow a^2 + 10a + b^2 + 12b + c^2 + 14c \geq 15
$$ Notemos que se puede expresar el mínimo de $x + y + z$ en función del mínimo de $a + b + c$
Spoiler: mostrar
$$ a + b + c = x + y + z - 18 \\
\Rightarrow \min_{a, b, c \geq 0} (a + b + c) =\min_{a, b, c \geq 0} (x + y + z - 18) \\
\Leftrightarrow \min_{a, b, c \geq 0} (a + b + c) = \min_{x \geq 5, y \geq 6, z \geq 7} (x + y + z - 18) \\
\Leftrightarrow \min_{x \geq 5, y \geq 6, z \geq 7} (x + y + z) = \min_{a, b, c \geq 0} (a + b + c) + 18
$$
Como $a$, $b$ y $c$ son positivos, entonces $$
(a + b + c)^2 + 14(a + b + c) \geq a^2 + 10a + b^2 + 12b + c^2 + 14c \Leftrightarrow (a + b + c)^2 + 14(a + b + c) \geq 15 \Rightarrow a + b + c \geq 1
$$ La igualdad se obteniene cuando $(a, b, c) = (0, 0, 1)$ ya que es cuando se cumple que $(a + b + c)^2 + 14(a + b + c) = a^2 + 10a + b^2 + 12b + c^2 + 14c$, y $1^2 + 14 \geq 15$. Por lo tanto, $$
\min_{a, b, c \geq 0} (a + b + c) = 1 \Leftrightarrow \min_{x \geq 5, y \geq 6, z \geq 7} (x + y + z) = 19
$$ Ya que efectivamente $5^2 + 6^2 + 8^2 \geq 125$. $\blacksquare$
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