Nah, pero eso además de ser un método chanta no sirve ya que no sabés si es una constante o el valor está en función de a, b y c. Es un lindo problema, piénsenlo.
"Though my eyes could see I still was a blind man"
Desarrollando [math]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 1 nos queda [math]a^3+b^3+c^3+abc=0 (1) (No voy a tipear todos los pasos xD)
Desarrollando [math]\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} nos queda [math]\frac{a^3c+a^2cb+a^4+a^3b+ab^3+b^4+ab^2c+cb^3+bc^3+abc^2+c^4+c^3a}{(b+c)(c+a)(a+b)}
que se puede factorizar como:
[math]\frac{(a^3+b^3+c^3+abc)(a+b+c)}{(b+c)(c+a)(a+b)} que por [math](1) es [math]0, a menos que uno de los valores [math]b+c, [math]c+a, [math]a+b sea [math]0, pero esto es imposible, ya que si no [math]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} no estaria definido.
Sea $S = a+b+c$, entonces reescribimos lo que tenemos como $\sum_{cyc}{ \frac{a}{S-a}} = 1$
Sumamos $1$ en cada una de las fracciones: $\sum_{cyc}{\frac{a+S-a}{S-a}} = 4$
De ahí: $S\cdot \sum_{cyc}{\frac{1}{S-a}} = 4$.
Sea $\sum_{cyc}{ \frac{a^2}{S-a}} = t$ donde $t$ es un número real.
Sumamos $\sum_{cyc}{S+a}$ y así obtenemos $\sum_{cyc}{ \frac{a^2 + (S-a)(S+a)}{S-a}} = t + 4S$
Es decir, $\sum_{cyc}{ \frac{S^2}{S-a}} = t+4S$
$S^2 \cdot \sum_{cyc}{ \frac{1}{S-a}} = t+4S$.
Pero sabíamos que $S^2 \cdot \sum_{cyc}{ \frac{1}{S-a}} = 4S$, de donde $t=0$.
"Though my eyes could see I still was a blind man"
@emersorp: Genial! Es la misma solución que hice yo.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore! Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU