Problema 1 - Selectivo IMO 1998

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Nacho

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Problema 1 - Selectivo IMO 1998

Mensaje sin leer por Nacho »

Sean $a,b,c$ números reales tales que $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$.

Hallar $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$.
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Vladislao

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Re: Problema 1 - Selectivo IMO 1998

Mensaje sin leer por Vladislao »

Nacho escribió:Sean [math], [math], [math] números reales tales que [math]

Hallar [math]
Si no tenés ganas de pensar, le das valores a a y b, y despejás el valor de c, y reemplazás todo en la expresión que tenés que hallar.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Nacho

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Re: Problema 1 - Selectivo IMO 1998

Mensaje sin leer por Nacho »

Nah, pero eso además de ser un método chanta no sirve ya que no sabés si es una constante o el valor está en función de a, b y c. Es un lindo problema, piénsenlo.
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Vladislao

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Re: Problema 1 - Selectivo IMO 1998

Mensaje sin leer por Vladislao »

Spoiler: mostrar
Es trivial ver que [math].

Ahora, jugamos con el dato que nos dan:

[math]

Entonces:

[math]

Restás:

[math]

De ahí sale:

[math]

Entonces:

[math]

Multiplicamos por a+b+c...

[math]

La suma es 0.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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amcandio

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Re: Problema 1 - Selectivo IMO 1998

Mensaje sin leer por amcandio »

Nacho escribió:Sean [math], [math], [math] números reales tales que [math]

Hallar [math]
Spoiler: mostrar
Desarrollando [math] nos queda [math] (No voy a tipear todos los pasos xD)

Desarrollando [math] nos queda [math]

que se puede factorizar como:

[math] que por [math] es [math], a menos que uno de los valores [math], [math], [math] sea [math], pero esto es imposible, ya que si no [math] no estaria definido.
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amcandio

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Re: Problema 1 - Selectivo IMO 1998

Mensaje sin leer por amcandio »

Uh como me cagaste xDDD
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Nacho

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Re: Problema 1 - Selectivo IMO 1998

Mensaje sin leer por Nacho »

Otra solución:
Spoiler: mostrar
Sea $S = a+b+c$, entonces reescribimos lo que tenemos como $\sum_{cyc}{ \frac{a}{S-a}} = 1$
Sumamos $1$ en cada una de las fracciones: $\sum_{cyc}{\frac{a+S-a}{S-a}} = 4$
De ahí: $S\cdot \sum_{cyc}{\frac{1}{S-a}} = 4$.

Sea $\sum_{cyc}{ \frac{a^2}{S-a}} = t$ donde $t$ es un número real.
Sumamos $\sum_{cyc}{S+a}$ y así obtenemos $\sum_{cyc}{ \frac{a^2 + (S-a)(S+a)}{S-a}} = t + 4S$
Es decir, $\sum_{cyc}{ \frac{S^2}{S-a}} = t+4S$
$S^2 \cdot \sum_{cyc}{ \frac{1}{S-a}} = t+4S$.
Pero sabíamos que $S^2 \cdot \sum_{cyc}{ \frac{1}{S-a}} = 4S$, de donde $t=0$.
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emersorp
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Re: Problema 1 - Selectivo IMO 1998

Mensaje sin leer por emersorp »

Spoiler: mostrar
Multiplicamos a ambos miembros por $a+b+c$ y obtenemos que:

$(a+b+c). (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})=(a+b+c)$

Luego, aplicamos distributiva

$\frac{a}{b+c}.[(b+c)+a]+\frac{b}{c+a}.[((c+a)+b]+\frac{c}{a+b}.[(a+b)+c]=a+b+c$, y de esto se obtiene:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c$. Por lo tanto,

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0$
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Matías V5

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Re: Problema 1 - Selectivo IMO 1998

Mensaje sin leer por Matías V5 »

@emersorp: Genial! :D Es la misma solución que hice yo.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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El Geek
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Re: Problema 1 - Selectivo IMO 1998

Mensaje sin leer por El Geek »

Mi solución:
Spoiler: mostrar
Multiplicamos la identidad inicial por [math], [math], y [math]. Obteniendo:
  • [math]
  • [math]
  • [math]
Al sumar, se obtiene
[math]
de donde se concluye que la suma buscada, es cero.
Me gustó la solución de Vladislao.

Saludos.
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