En primer lugar trabajamos sobre la expresión de cada término del siguiente modo: [math]\frac {k(3k+1)}{(3k-1)(3k+2)}=\frac {3k^2+k}{9k^2+3k-2}=\frac {\frac {1}{3}(9k^2+3k-2)+\frac {2}{3}}{9k^2+3k-2}=\frac {1}{3}+\frac {2}{3}\frac {1}{9k^2+3k-2}
Si la suma del enunciado tiene [math]n términos entonces se puede expresar como: [math]\sum_{k=1}^n \frac {k(3k+1)}{(3k-1)(3k+2)}=\sum_{k=1}^n \frac {1}{3}+\frac {2}{3}\sum_{i=1}^n \frac {1}{9k^2+3k-2}=\frac {n}{3}+\frac {2}{3}\sum_{i=1}^n \frac {1}{9k^2+3k-2}
Para calcular la nueva suma podemos ver sus valores para [math]n=\{1;2;3;...\}, y vemos que da: [math]\frac {1}{10};\frac {2}{16};\frac {3}{22};.... En base a ello conjeturo que: [math]\sum_{i=1}^n \frac {1}{9k^2+3k-2}=\frac {n}{4+6n}
Para [math]n=1 ambos lados de la igualdad valen [math]\frac {1}{10}, por lo que la fórmula es cierta para algún [math]n. Sumamos ahora a ambos lados de la igualdad: [math]\frac {1}{9(n+1)^2+3(n+1)-2}+\sum_{i=1}^n \frac {1}{9k^2+3k-2}=\frac {n}{4+6n}+\frac {1}{9(n+1)^2+3(n+1)-2} [math]\sum_{i=1}^{n+1} \frac {1}{9k^2+3k-2}=\frac {n}{4+6n}+\frac {1}{9n^2+21n+10}
Si hacemos todas las cuentas, efectivamente obtenemos: [math]\sum_{i=1}^{n+1} \frac {1}{9k^2+3k-2}=\frac {n+1}{4+6(n+1)}
Entonces, la suma original vale: [math]\frac {n}{3}+\frac {2}{3}\frac {n}{4+6n}
Y evaluado en [math]n=99: [math]\frac {99}{3}+\frac {2}{3}\frac {99}{4+6.99}=\frac {9900}{299}
Si jugamos un poco con la expresion que estamos sumando, la podemos expresar como: [math]\frac{1}{3} + \frac{2}{9} (\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k-2})
La gracia de esto es que el termino que resta con [math]k=k_0 se cancela con el termino que suma con [math]k=k_0+1, por lo que estamos haciendo una suma telescopica (https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_telesc%C3%B3pica)
Al final de la suma de los 99 terminos, nos va a quedar [math]3 * \frac{1}{3} + \frac{2}{9} (\frac{1}{2} - \frac{1}{299}) = \frac{9900}{299}. (El [math]\frac{1}{2} salio del termino que suma del primer elemento de la secuencia, mientras que el [math]- \frac{1}{299} salio del termino que resta del ultimo elemento de la secuencia.
Viendo las primeras sumas parciales obtenemos $\frac{2}{5},\frac{3}{4}=\frac{6}{8},\frac{12}{11},\frac{10}{7}=\frac{20}{14},\ldots$ y en general el resultado parece ser $\frac{n(n+1)}{3n+2}$. Vamos a demostrar esto por inducción. El caso base $n=1$ ya lo vimos, supongamos que vale para $n$ y veamos que vale para $n+1$.
Queremos ver $\sum \limits_{k=1}^{n+1}\frac{k(3k+1)}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{(n+1)(n+2)}{3n+5}$, pero por la hipótesis inductiva tenemos $\sum \limits_{k=1}^n\frac{k(3k+1)}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{n(n+1)}{3n+2}$.
Entonces queremos ver que$$\begin{align*}\frac{(n+1)(n+2)}{3n+5} & =\sum \limits_{k=1}^{n+1}\frac{k(3k+1)}{(3k-1)(3k+2)} \\
& =\frac{(n+1)(3n+4)}{(3n+2)(3n+5)}+\sum \limits_{k=1}^n\frac{k(3k+1)}{(3k-1)(3k+2)} \\
& =\frac{(n+1)(3n+4)}{(3n+2)(3n+5)}+\frac{n(n+1)}{3n+2}
\end{align*}$$Esto es equivalente a ver$$\frac{(n+1)(n+2)}{3n+5}-\frac{n(n+1)}{3n+2}=\frac{(n+1)(3n+4)}{(3n+2)(3n+5)}$$Multiplicando por $\frac{(3n+2)(3n+5)}{n+1}$ queremos ver que $(n+2)(3n+2)-n(3n+5)=3n+4$
Pero el LHS es $3n^2+2n+6n+4-3n^2-5n=3n+4$
Por lo tanto queremos ver que $3n+4=3n+4$
Pero esto claramente es cierto, la inducción está completa.
Para $n=99$ la suma pedida es $\frac{99\cdot 100}{3\cdot 99+2}=\frac{9900}{299}$
La idea es transformar la expresión en dos partes, de modo que lleguemos a una suma en la que podamos agrupar expresiones cuya adición siempre resulte un número fijo.
Podríamos hacerlo sumando dos expresiones en la cual una tenga como denominador $(3k-1)$, y otra $(3k+2)$.
Trabajemos la expresión inicial para lograr lo antes mencionado:
$$\frac{k(3k+1)}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{a}{(3k-1)} + \frac{b}{(3k+2)}=\frac{a(3k+2)}{(3k-1)(3k+2)} + \frac{b(3k-1)}{(3k-1)(3k+2)}=$$
$$=\frac{3ak+2a+3bk-b}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{3k(a+b)+2a-b}{(3k-1)(3k+2)}$$
Entonces vemos que:
$$3k(a+b)+2a-b=k(3k+1)=3k*k+k$$
Observando la igualdad:
$$\left.
a+b=k \atop
2a-b = k
\right\}$$
Despejando llegamos a que:
$$a=\frac{2k}{3}$$
$$b=\frac{k}{3}$$
Reemplazando en la expresión de más arriba:
$$\frac{a}{(3k-1)} + \frac{b}{(3k+2)}=\frac{\frac{2k}{3}}{(3k-1)} + \frac{\frac{k}{3}}{(3k+2)}$$
Veamos que sucede con cada parte si sumamos $k_1$, $k_2$ y $k_3$:
$$(\frac{1}{3}+\frac{1}{15})+(\frac{4}{15}+\frac{1}{12})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{11})$$
El segundo término de $k_1$ sumado al primer término de $k_2$ da $\frac{1}{3}$, lo mismo sucede con el segundo término de $k_2$ sumado al primer término de $k_3$, y así sucesivamente.
Entonces:
$$\sum_{k=1}^{99} \frac{k(3k+1)}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}*98+\frac{33}{299}=\frac{9900}{299}$$
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