Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 3

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Monazo

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Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 29 Ago, 2019 10:02 pm

En la figura se muestra una línea quebrada $DEFB$ en el interior del cuadrado $ABCD$. Se sabe que $DE$ es perpendicular a $EF$ y $EF$ es perpendicular a $FB$. Si $DE=5$, $EF=1$ y $FB=2$, calcular la longitud del lado del cuadrado $ABCD$.

Provincial_2019 - Nivel 1 - Problema 3.png
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Turko Arias

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Re: Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Turko Arias » Sab 31 Ago, 2019 3:36 am

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Trazamos paralela a $EF$ por $B$ y por $D$, y prolongamos $BF$ y $DE$ y nos termina quedando el rectángulo $BGDH$, con $BG=DH=DE+BF=7$ y $GD=EF=BH=1$. Por Pitágoras en $BGDH$ tenemos que $BD^2=BG^2+GD^2=50$. Por otro lado, sea $l$ el lado del cuadrado, por Pitágoras en $ABC$ tenemos que $l^2+l^2=BD^2=50$, de donde $l^2=25$ y $l=5$ $\blacksquare$
Prov n1.png
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Martín Lupin
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Re: Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Martín Lupin » Sab 31 Ago, 2019 11:49 am

Otra solución (un poco más larga):
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Sea $M$ el punto de intersección entre $BD$ y $EF$. Como $AB\parallel CD$ y $DE\parallel FB$, se deduce que $\angle CDE=\angle ABF$. Luego $\angle FBM=\angle EDM$. Además $\angle DEM=\angle BFM=90^\circ$, por lo que $\triangle DEM\sim \triangle BFM$. Entonces $\frac{EM}{FM}=\frac{DE}{FB}=\frac{5}{2}$. Como $EM+FM=EF=1$, se obtiene que $EM=\frac{5}{7}$ y $FM=\frac{2}{7}$. Aplicando el teorema de Pitágoras en $\triangle DEM$ y $\triangle BFM$, se obtiene que $BM=\frac{10\sqrt{2}}{7}$ y $CM=\frac{25\sqrt{2}}{7}$. Entonces $BC=BM+CM=\frac{10\sqrt{2}}{7}+\frac{25\sqrt{2}}{7}=5\sqrt{2}$. Luego la longitud del lado del cuadrado $ABCD$ es $5$.

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