Mayo 2018 Problema 4 Nivel 2

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maxiR

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Olimpiada de mayo 2018 nivel 2 problema 4

Mensaje sin leer por maxiR » Lun 24 Sep, 2018 11:00 am

En un paralelogramo $ABCD$,sea $M$ el punto del lado $BC$ tal que $MC=2BM$ y sea $N$ el punto del lado $CD$ tal que $NC=2DN$.Si la distancia del punto $B$ a la recta $AM$ es $3$, calcular la distacia del punto $N$ a la recta $AM$.

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DiegoLedesma
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Re: Olimpiada de mayo 2018 nivel 2 problema 4

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Lun 24 Sep, 2018 8:48 pm

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Sea $E$ en $AD$, tal que $AE$=$2ED$. Al trazar $CE$, queda determinado el paralelogramo $AMCE$.
La perpendicular trazada por $B$ corta a $AM$ y $CE$ en $F$ y $G$, respectivamente. Luego, por Thales: $FG=6$.
Desde $N$ tracemos ahora la perpendicular a $CE$, que será también perpendicular a $AM$ (por ser $AMCE$ un paralelogramo), y que cortará a ambas en $H$ e $I$ respectivamente. Luego, $HIFG$ es un rectángulo, con $HI=FG=6$. Además, por semejanza entre $\bigtriangleup$ $ABF$ y $\bigtriangleup$ $CNH$, se tiene que $NH=2$.
$\therefore$ La distancia entre $N$ y la recta $AM$ será: $NH+HI=2+6=8$
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