Hay infinitos números irracionales entre dos racionales diferentes

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Yanes

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Carolina González
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Hay infinitos números irracionales entre dos racionales diferentes

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Sea $r_1,~r_2\in\mathbb{Q}~/~r_1<r_2$
$\Rightarrow \exists ~ \aleph\in\mathbb{I}~/~r_1<\aleph<r2$
Demostración:
Spoiler: mostrar
Sabemos que $r_1<r_2~\Rightarrow 0<r_2-r_1$
Sea $p\in\mathbb{P}~\Rightarrow \sqrt{p}\in\mathbb{I}$ La demostración de este hecho está en viewtopic.php?f=38&t=6387
Sabemos que $1<p~\forall ~p\in\mathbb{P}$
$\sqrt{1}<\sqrt{p}$
$1<\sqrt{p}$
Sabemos que $\sqrt{p}>0$ entonces al dividir miembro a miembro, el sentido de la desigualdad no cambia
$\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{p}}<1$
Al ser una cantidad positiva podemos añadir:
$0<\frac{1}{\sqrt{p}}<1$
Sabemos que $0<r_2-r_1$ entonces al multiplicar miembro a miembro, el sentido de la desigualdad no cambia
$0(r_2-r_1)<\frac{1}{\sqrt{p}}(r_2-r_1)<1(r_2-r_1)$
$0<\frac{r_2-r_1}{\sqrt{p}}<r_2-r_1$
Sumamos miembro a miembro $r_1$
$0+r_1<\frac{r_2-r_1}{\sqrt{p}}+r_1<r_2-r_1+r_1$
$r_1<\frac{r_2-r_1}{\sqrt{p}}+r_1<r_2~\forall~p\in\mathbb{P}$

Sea $\aleph : \mathbb{P} \to \text{Im}\subseteq\mathbb{R}~/~\aleph (p)=\frac{r_2-r_1}{\sqrt{p}}+r_1$

Analicemos la racionalidad de $\aleph (p)$
$r_1\in\mathbb{Q},~r_2\in\mathbb{Q}\Rightarrow r_2-r_1\in\mathbb{Q}$
$r_2-r_1\in\mathbb{Q},~\sqrt{p}\in\mathbb{I}\Rightarrow\frac{r_2-r_1}{\sqrt{p}}\in\mathbb{I}$
$\frac{r_2-r_1}{\sqrt{p}}\in\mathbb{I},~r_1\in\mathbb{Q}\Rightarrow\frac{r_2-r_1}{\sqrt{p}}+r_1\in\mathbb{I}$
$\Rightarrow\aleph (p)\in\mathbb{I}~\forall~p\in\mathbb{P} $

Con esto podemos redefinir a $\aleph$
$\aleph : \mathbb{P} \to \text{Im}\subseteq\mathbb{I}~/~\aleph (p)=\frac{r_2-r_1}{\sqrt{p}}+r_1$

Es evidente que $\aleph$ es sobreyectiva
$\Rightarrow \#\{ \mathbb{P} \} = \#\{ \text{Im} \} $
Euclides demostró que los primos son infinitos
$\Rightarrow \#\{ \mathbb{P} \} = \infty $
Por transitividad resulta
$ \#\{ \text{Im} \} =\infty$
Entonces existen infinitos $\aleph\in\mathbb{I}$

Volviendo a la desigualdad:
$r_1<\frac{r_2-r_1}{\sqrt{p}}+r_1<r_2$
Reemplazamos:
$r_1<\aleph (p)<r_2$
Finalmente deducimos que hay infinitos iracionales que dependen de los números primos existiendo entre dos racionales cualesquiera diferentes
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