Límite notable del cociente sen(x) entre x

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Yanes

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Carolina González
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Límite notable del cociente sen(x) entre x

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$\lim \limits _{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

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Sean
$A_1=\text{Area}(\triangle ABC)$
$A_2=\text{Area}(\sphericalangle ABC)$
$A_3=\text{Area}(\triangle AED)$

Es evidente que:

$A_1<A_2<A_3$

$\text{Area}(\triangle ABC)<\text{Area}(\sphericalangle ABC)<\text{Area}(\triangle AED)$

$\frac{\text{sen}(\alpha)\times\text{cos}(\alpha)}{2}<\frac{1\times \alpha}{2}<\frac{1\times\text{tan}(\alpha)}{2}$

$\text{sen}(\alpha)\text{cos}(\alpha)<\alpha<\text{tan}(\alpha)$

$\text{sen}(\alpha)\text{cos}(\alpha)<\alpha<\frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{cos}(\alpha)}$

$\frac{1}{\text{sen}(\alpha)}\text{sen}(\alpha)\text{cos}(\alpha)<\frac{1}{\text{sen}(\alpha)} \alpha<\frac{1}{\text{sen}(\alpha)}\frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{cos}(\alpha)}$

$\text{cos}(\alpha)<\frac{\alpha}{\text{sen}(\alpha)} <\frac{1}{\text{cos}(\alpha)}$

$\frac{1}{\text{cos}(\alpha)}>\frac{\text{sen}(\alpha)}{\alpha} >\text{cos}(\alpha)$

Aplicamos Teorema del Sandwich para Límites viewtopic.php?f=38&t=6394

$\lim \limits _{\alpha\to 0} \frac{1}{\text{cos}(\alpha)} \geq \lim \limits _{\alpha\to 0} \frac{\text{sen}(\alpha)}{\alpha} \geq \lim \limits _{\alpha\to 0} \text{cos}(\alpha)$

$1 \geq \lim \limits _{\alpha\to 0} \frac{\text{sen}(\alpha)}{\alpha} \geq 1$

En conclusión:

$\lim \limits _{\alpha\to 0} \frac{\text{sen}(\alpha)}{\alpha}=1$
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