Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
Yanes
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Mensaje sin leer
por Yanes » Jue 06 Feb, 2020 3:21 pm
$\lim \limits _{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$
Demostración:
Spoiler: mostrar [center [/center]
Sean
$A_1=\text{Area}(\triangle ABC)$
$A_2=\text{Area}(\sphericalangle ABC)$
$A_3=\text{Area}(\triangle AED)$
Es evidente que:
$A_1<A_2<A_3$
$\text{Area}(\triangle ABC)<\text{Area}(\sphericalangle ABC)<\text{Area}(\triangle AED)$
$\frac{\text{sen}(\alpha)\times\text{cos}(\alpha)}{2}<\frac{1\times \alpha}{2}<\frac{1\times\text{tan}(\alpha)}{2}$
$\text{sen}(\alpha)\text{cos}(\alpha)<\alpha<\text{tan}(\alpha)$
$\text{sen}(\alpha)\text{cos}(\alpha)<\alpha<\frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{cos}(\alpha)}$
$\frac{1}{\text{sen}(\alpha)}\text{sen}(\alpha)\text{cos}(\alpha)<\frac{1}{\text{sen}(\alpha)} \alpha<\frac{1}{\text{sen}(\alpha)}\frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{cos}(\alpha)}$
$\text{cos}(\alpha)<\frac{\alpha}{\text{sen}(\alpha)} <\frac{1}{\text{cos}(\alpha)}$
$\frac{1}{\text{cos}(\alpha)}>\frac{\text{sen}(\alpha)}{\alpha} >\text{cos}(\alpha)$
Aplicamos Teorema del Sandwich para Límites viewtopic.php?f=38&t=6394
$\lim \limits _{\alpha\to 0} \frac{1}{\text{cos}(\alpha)} \geq \lim \limits _{\alpha\to 0} \frac{\text{sen}(\alpha)}{\alpha} \geq \lim \limits _{\alpha\to 0} \text{cos}(\alpha)$
$1 \geq \lim \limits _{\alpha\to 0} \frac{\text{sen}(\alpha)}{\alpha} \geq 1$
En conclusión:
$\lim \limits _{\alpha\to 0} \frac{\text{sen}(\alpha)}{\alpha}=1$