OMEO 2018 N3 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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MateoCV

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COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
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OMEO 2018 N3 P1

Mensaje sin leer por MateoCV » Lun 29 Jun, 2020 11:34 pm

Tenemos $5$ bolitas que pesan $1,2,3,4$ y $5$ gramos, pero de apariencia son indistinguibles. Luigi tiene una balanza de platos y su objetivo es colocar un conjunto de bolitas en cada plato (al menos una) de forma que la balanza se equilibre. Mostrar cómo puede hacerlo usando la balanza máximo $6$ veces (contando aquella vez en la que lo consigue).

Nota: Una balanza de platos nos informa, al colocar un conjunto de bolitas en cada plato, o bien cuál de ellos es más pesado, o bien se equilibra si ambos platos pesan lo mismo.
1  
$2^{82589933}-1$ es primo

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Stakys Juan Cruz
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Re: OMEO 2018 N3 P1

Mensaje sin leer por Stakys Juan Cruz » Mar 30 Jun, 2020 2:18 am

Spoiler: mostrar

Dejemos una bolita afuera y comparemos grupos de 2:

//Aclaración: Marco con un (!) el grupo ganador

Si dejamos la de 5g, las comparaciones serían:
1g + 2g vs 3g + 4g (!)
1g + 3g vs 2g + 4g (!)
1g + 4g vs 2g + 3g (Acá se equilibra)

Si dejamos la de 4g, las comparaciones serían:
1g + 2g vs 3g + 5g (!)
1g + 3g vs 2g + 5g (!)
(!) 1g + 5g vs 2g + 3g

Si dejamos la de 3g, las comparaciones serían:
1g + 2g vs 4g + 5g (!)
1g + 4g vs 2g + 5g (!)
1g + 5g vs 2g + 4g (Acá se equilibra)

Si dejamos la de 2g, las comparaciones serían:
1g + 3g vs 4g + 5g (!)
1g + 4g vs 3g + 5g (!)
1g + 5g vs 3g + 4g (!)

Si dejamos la de 1g, las comparaciones serían:
2g + 3g vs 4g + 5g (!)
2g + 4g vs 3g + 5g (!)
2g + 5g vs 3g + 4g (Acá se equilibra)

Sólo en DOS de los casos se equilibra.

Llamemos a las bolitas desconocidas: A, B, C, D y E.

Con esto podemos dejar afuera E y probar 3 comparaciones:
A+B vs C+D,
A+C vs B+D y
A+D vs B+C

En los casos donde dejamos afuera la de 5g, la de 3g o la de 1g, ya lograríamos equilibrar la balanza en a lo sumo 3 intentos.
En caso de que no se haya equilibrado, sabemos que la bolita E es la de 4g o la de 2g.
Para saber cuál de las dos es, podemos notar que en las comparaciones cuando sacamos afuera la de 4g, siempre sería más pesado el grupo dónde está la bola de 5g; y si sacamos la de 2g podemos notar que siempre sería más liviano el grupo donde está la bolita de 1g. Con esto podemos descubrir cuál es la bolita de 1g viendo qué bolita se repite en todos los grupos que fueron más livianos, y si no hay tal bolita, podemos encontrar cuál es la de 5g viendo cuál se repite en todos los grupos que fueron más pesados.

En caso de que hayamos encontrado la bolita de 5g, sabemos que la que dejamos afuera fue la de 4g. Ahora con el grupo de 3 bolitas (las de 1g, 2g y 3g) y con máximo 3 comparaciones más (6 en total) nos bastan para formar el equilibrio 2g + 3g vs 5g (Dejamos la de 5g de un lado y del otro lado probamos cada una de las 3 combinaciones de 2 bolitas)

En caso de que la que hayamos encontrado sea la de 1g, ya sabemos cuál es la de 1g y sabemos que la que dejamos afuera es la de 2g. Así que de un lado ponemos estas dos bolitas conocidas y del otro ponemos una por una la de 3g, 4g y 5g, hasta que se equilibren. Esto tomaría otras 3 comparaciones. Y en total habríamos usado 6.

Fin.

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