Sea $ABC$ un triángulo con $AB=20$, $AC=21$ y $BC=29$. Sean $D$ y $E$ puntos del lado $BC$ tales que $BD=8$ y $EC=9$. Calcular la medida del ángulo $\angle DAE$.
El triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ ya que cumple Pitágoras. Sean $BAD=x$, $DAE=y$ y $EAC=z$. Los triángulos $ABE$ y $ADC$ son isósceles. Entonces $BEA=x+y$ y $CDA=y+z$. Por suma de ángulos interiores en el triángulo $ADE$ tenemos que $x+3y+z=180$ y por ser recto A tenemos que $x+y+z=90$. Restamos las ecuaciones y nos da $2y=90$. Por lo tanto $y=45$.
Un dato interesante a saber es que la hipotenusa siempre es mas grande que cualquiera de los catetos, sabiendo esto concluimos fácilmente que el triangulo es rectángulo en A.
Ahora notemos que $EB = 20 = AB$ y que $AC = 21 = CD$ por lo cual vamos a igualar ángulos. Sea $\angle CAE = \theta, \angle EAD = \beta, \angle DAB = \alpha$, luego nos queda que por triángulos isósceles $\angle AED = \beta + \alpha, \angle ADE = \theta + \beta$ por lo tanto por suma de ángulos interiores y por ángulo recto tenemos:
$$3\beta + \alpha + \theta = 180°$$
$$\beta + \alpha + \theta = 90°$$
Restando ambas ecuaciones:
$$2\beta = 90°$$
$$\beta = 45°$$
Y recordemos que $\beta = \angle EAD = 45°$ así que con esto esta terminado el problema.
