OMAlbum - Problema #A034

[Matías V5]

En la figura, el trapecio $ABCD$ está dividido en cuatro partes: los rectángulos $ABGF$ y $FGED$, el triángulo $BHG$ y el trapecio $GHCE$. Las áreas de los rectángulos y el triángulo están indicadas en la figura. ¿Cuál es el área del trapecio $GHCE$?

a034_OfJgB.png

[Genericool]

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La diagonal $FB$ divide al rectángulo $ABGF$ en dos triángulos de área $225$. Como los triángulos $BHG$ y $BFG$ tienen igual área y la misma altura $BG$, entonces también deben tener igual base, es decir que $FG = GH$.

Los triángulos $BHG$ y $BCE$ son semejantes porque tienen los tres ángulos iguales. Entonces $\frac {BG}{BE} = \frac {GH}{EC}$

Podemos transformar esta última ecuación en $BG \times EC = GH \times BE$

Habíamos dicho que $GH = FG$ y a su vez $FG = DE$ porque son lados opuestos del mismo rectángulo. La ecuación se transforma en $BG \times EC = DE\times BE$

Sabemos que $DE \times BE = 600$ porque es la suma del área de los dos rectángulos que lo componen. Ahora la ecuación es $BG \times EC = 600$

Por área, $ABGF= \frac {3}{4} ABED$. Como comparten la base, entonces debe ser $BG = \frac {3}{4} BE$.

Nuestra ecuación anterior ahora es $ \frac {3}{4} BE \times EC = 600$

Si multiplicamos ambos miembros por $\frac{2}{3}$ queda $\frac {BE \times EC} {2} = 400$

Casualmente esta es la fórmula del área del triángulo $BCE$. Este triángulo se compone del triángulo $BHG$ de área $225$ y el trapecio $GHCE$ de área $400 - 225 = 175$

[Fran5]

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Hay una propiedad muy interesante en geometría que es la siguiente.

Se tienen dos triángulos semejantes $ABC$ y $DEF$, de modo que $\dfrac{AB}{DE} = r$ es la relación entre sus lados.
Luego $\dfrac{\text{Area}(ABC)}{\text{Area}(DEF)} = r^2$

Demostración

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Las alturas $CH$ y $FH'$ también respetan la relación de semejanza $\dfrac{CH}{FH'} = r$.
Luego, escribiendo $AB = r \cdot DE$ y $CH = r \cdot FH'$, tenemos que $$\text{Area}(ABC) = \dfrac{AB \cdot CH}{2} = \dfrac{(r \cdot DE) \cdot (r \cdot FH')}{2} = r^2 \dfrac{DE \cdot FH'}{2} = r^2 \text{Area}(DEF)$$

Más aún, este resultado sirve para cualquier par de figuras semejantes, sin simportar si son triángulos, polígonos, o un dibujo extravagante.

Nos gustaría aplicar este resultado a los triángulos $BGH$ y $BEC$. Pero si $r = \dfrac{BE}{BG}$ tenemos $r = \dfrac{BE}{BG} = \dfrac{BE \cdot FG}{BG \cdot FG} = \dfrac{600}{450} = \dfrac{4}{3}$

Luego $\dfrac{\text{Area}(BEC)}{\text{Area}(BGH)} = \left( \dfrac{4}{3} \right) ^2$, de donde $\text{Area}(BEC) = \dfrac{16}{9} \cdot 225 = 400$

Finalmente, $\text{Area}(GHCE) = \text{Area}(BEC) - \text{Area}(BGH) = 400 -225 = 175$